ÉQUATION DU MOUVEMENT
759. Dans Fétat naturel d'équilibre d*an gaz, sa force élastique cr est égale à gmh^ g étant la pesanteur, m la densité du mercure et h la hauteur de la colonne de mercure qui fait équilibre à la pression de ce gaz.
Nous supposons que les molécules du fluide en repos qui sont dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du tuyau, se déplacent d'un mouvement commun parallèlement aux arêtes.
Soient X et X -h dx les distances à un point fixe de deux plans infiniment voisins, M, M', perpendiculaires
Fig. 189. ^^^ arêtes, qui com-
prennent entre eux
une tranche dont la ^ masse est padx^ en désignant par p la densité du gaz en repos et par a la section transversale du tuyau. Après le temps f , celle tranche s'est transportée en KIN'^ nous désignerons paru le déplacement MN des molécules qui étaient d'abord dans le plan M; u sera une fonction des deux variables X (il t qu'il faudra déterminer. L'épaisseur de la tranche MM' est dxy et celle de la tranche NN' est tfx 4- du ou
dx
comme ces tranches contiennent la
CIITQOABTB-SEPTIÈMB LEÇON. SSj
même masse de gaz, les forces élastiques du gaz en M et en N doivent, d'après la loi de Mariolte, êire en raison inverse des volumes des deux tranches, et par conséquent de leurs épaisseurs, ce qui donne, en appelant p la force élastique ou la pression du gaz en N rapportée a Tunité de surface.
p dx
ou
o dx '\' du fiu
en négligeant le carré de la dilatation — qui est très-
petite.
La pression sur la face N de la tranche NN' étant ap
ou ac7 f I — — j j on aura la pression ap' sur l'autre face
en changeant x en x-^- dx dans Texpression de ap^ ce qui donne
/ du d^ Il \
OLP rrracTlI -— dx \ •
' \ d,r dx' )
d^u La différence de ces deux pressions au --^ dx est la
force motrice de la masse de gaz comprise dans la tranche NN^ masse égale à padx. En divisant la force motrice par la masse, ou aura pour Texpression de la force accélératrice
ij d*u
Si la tranche n'était pas considérée comme solide, cette force accélératrice serait celle du centre de gravité de cette tranche NN', en y supposant toute la masse réunie. Or on peut dire que ce centre se meut comme la base N dont il est infiniment voisin.
Stcrm. — niée, H. 22
338 COUB8 DE mAcâhiqub.
Si la tranche est sollicitée encore par une force accélératrice étrangère, on aara ponr force accélératrice
H- X , qu il faudra égaler a -^^ ou simple-
^ dx' ' -7 T- o ^,
ment a -^^ puisque x ne varie pas avec t.
On a donc pour le mouvement d^une tranche Téquation
d^u 'dF
d^u djF
et, s'il n'y a pas de force étrangère,
d^u o d^tt
dt^ p dx*
ou
d^u ^^d^ti dt' ^ €ia?>'
en posant
, BT gmh a* — - •
CAS DU TUTÀU INDÉFIM DAlfS LES DEUX SEXS.
