TUYAU FERMÉ À UNE EXTRÉMITÉ ET IITDÉFINI
DÀlfS un SENS.
765. En prenant pour origine des x l'extrémité fermée, on aura la condidu
V n' o L K tion ^=0 pour x = o,
quel que soit t. Les fonctions 9 [x) et ^ (x) ne sont données que pour les valeurs de x positives.
34^ COURS DE MÉCÂiriQtTK.
La condition — = o pour a: = o donnera, qael que
soit t (positif ou négatif si l'on veut que les états antérieurs à i^origine du temps soient représentés aussi bien que ceux qui suivent),
ou, en désignant par z une variable quelconque, poûtive ou négative,
Cette équation détermine les fonctions <f' et f^' pour 1« valeurs négatives de la variable, ces fonctions étant données pour les valeurs positives.
Les valeurs (3) de — et de — ainsi détemdnées pov
des valeurs quelconques de a: et de £ sont les mêmes que si le tuyau, n^ëtant pas fermé en O, s'étendait indéfiniment dans les deux sens, l'état initial étant choisi du côté où Ton prolonge le tuyau de la manière qui vient d*ètre indiquée.
Dans cette hypothèse, en changeant a: en — x dans les formules (4), on aura, pour la dilatation et la ritesse de la tranche qui répond à l'abscisse — x, en ayant égard à la relation (5),
= f (x - at) -4- ^'(^ -f- at) r= {^^y
Ainsi dans deux sections à égales distances de Torigine O, la dilatation est la même et les vitesses sont ^tles et de signes contraires.
CINQUÂNTE-SEPTikME LEÇON. 343
Il suffit que cette propriété ait lieu a Torigine du temps pour qu'elle ait lieu à une époque quelconque; car pour qu'elle ait lieu quand t = o, on retrouve la condition
766. Si Tébranlement initial est renfermé dans un espace limité KL entre les abscisses Ar et ^ H- /, il donnera naissance à deux ondes animées des vitesses a et — a, ei, d'après ce qui précède, il y aura deux ondes symétriques de celles-ci, s'écartant à droite et à gauche de l'intervalle Y%1\! symétrique de KL.
Celles qui s'éloignent de l'origine O n'éprouveront aucune altération. Quant aux deux autres, elles arriveront en même temps en O, et, continuant leur route, elles se composeront en se pénétrant^ de sorte que les valeurs
^ du du . . , j
de — et --T- en un même point commun aux deux ondes
seront les sommes des valeurs qu'elles ont dans chaque onde; puis ces deux ondes, après s'être traversées et séparées, continueront leur marche sans altération.
On voit, diaprés leur symétrie, querefiet produit dans le tuyau réel est le même que si les diverses tranches de Tonde, qui s'apprpche du plan fixe O, se repliaient sur elles-mêmes en conservant la même densité et prenant une vitesse égale en sens contraire. Après que toutes ces tranches seront arrivées en O, on aura une onde se dirigeant du côté des x positives, et qui ne sera autre chose que la première renversée, comme on vient de le dire. C'est en cela que consiste la réflexion du mouvement sur un plan fixe.
