GAZEUX DE DENSITÉ CONSTANTE

767. On admet que la force élastique du gaz à l'ouverture O du tuyau est la même que celle du gaz extérieiir

344 COURS DB ICÉCAlfflQUB*

en repos, et par consécjuent la dilatation — est nulle

pour a: = o, a cause aep = CTli —i»

Il en résulte, quel que soit I,

ff'{at)'^'^*[—at):=zo

En supposant le tuyau et le fluide prolongés indéBniment à gauche de O, on aura, d'après les formales (5) et (6), pour la tranche dont Tabscisse est — or,

=^a[-^'{x-at)^ff'[x-\- at)] = {^]'

Ainsi, dans deux sections également distantes de rorigine, les vitesses sont égales et de même signe, et les dilatations égales et de signes contraires.

Il suit de là que si Tébranlement initial n^a lieu que dans une étendue limitée, il y aura dans le tuyau réel une onde s*éloignant indéfiniment de Torigine, et dans le tuyau prolongé indéfiniment, deux autres ondes marchant vers Forigine, se pénétrant et se traversant sans s'altérer, de sorte que dans le tuyau réel à un instant quelconque se trouvera Tonde qui se dirigeait d'abord vers Torigine et qui s'y réfléchit ensuite de manière à former une nouvelle onde dirigée en sens contraire ; les vitesses dans les différentes sections sont les mêmes et de même sens que quand Tonde s'approchait de l'origine, tandis que la dilatation change de signe.

CINQUÂNTE-SEPTlkME LEÇON. 345

C'est en cela que consiste la réflexion du mouvement sur un milieu de densité constante.

TUTÀU FEBMÉ À SES DEUX EXTRÉMITéS»'

768. L^état du fluide dans ce tuyau fermé est toujours représenté par les formules (3) en supposant le tuyau et le fluide prolongés indéfiniment dans les deux sens. Mais ici il faut déterminer, pour les valeurs quelconques de la variable x, les deux fonctions cp (x) et ip (x), qui ne sont connues que pour les valeurs de x comprises entre o et l^ l étant la longueur du tuyau fermé.

11 faut exprimer que la vitesse — est nulle pour x = o

et pour X = /, quel que soit tj ce qui donne, en faisant

On connaît ^' [l — z), z étant entre o et l\ donc on connaît aussi f'(/-{- z). Ainsi <f^(z) est connue pour les valeurs de z plus petites que a/.

En changeant zenl-\- z dans la seconde équation, elle donne

et comme on a aussi

il s^ensuit

La fonction f ' [z) reprend donc la même valeur, quand la variable z augmente de ni. Il en est de même de 4»' ( — z), car la formule

ç'(z) = f(-.z) dohne

346 COURS DE icécimQiTB*

n suit de la périodicité des fonctions cp' et ^ que la dilatation et la vitesse redeviennent les mêmes en on même point du tuyau à des époques distantes les unes des autres

d'un intervalle T =: — •

769. On peut encore établir ce fait en considérant que l'ébranlement initial donne naissance à deux ondes qui marchent en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités suivant les lois qui ont été expliquées précédemment.

Après avoir subi deux réflexions et parcouru des chemins égaux à deux fois la longueur du tuyau, elles vieilli/ nent, au bout d'un intervalle de temps égal à — ? reproduire, en se composant, l'état initial; et cet effet se répétera de nouveau indéfiniment.