UÉMOIRB (*) SUB QUELQUES PROPOSITIONS DB MECANIQUE

BATiONNELLE.

Le théorème de Carnot sur la perte de force vive quia lieu dans un système dont certaines parties dénuées d'élasticité changent brusquement de vitesse en se choquant, a été étendu par quelques auteurs à tous les changements brusques de vitesse produits par des causes quelconques. La démonstration de Carnot n'étant pas fondée sur la considération des actions mutuelles développées entre les molécules dans le choc, semblait se prêter à cette extension de son principe. Mais, après un examen plus approfondi, plusieurs géomètres ont été conduits à juger cette démonstration de Carnot insuffisante, et à restreindre considérablement la généralité de son théorème. On savait déjà qu'il n^avait pas lieu dans le choc des corps élastiques : on a cru devoir le borner au cas des changements brusques de vitesse dus au choc proprement dit entre des corps dépourvus d'élasticité, en observant que pour ce cas même il ne donne qu'une partie de la perte de force vive du système, quand il y a frottement entre les corps en contact : qu'il faut d'ailleurs que les vitesses des points en contact dans le sens delà normale commune aux surfaces des deux corps qui se touchent soient les

(*) On n*a pas trouve de rédaction suivie de ce Mémoire dans les papiers de M. Stnrm, mais seulement des parties détachées, eouTertes de ratures. On a réuni ici tous cet fragments, en s'aida nt, pour lea coordonner et les compléter, de l'analyse du Mémoire donnée par l'Auteur dans les Comptes rendus des séances de l^ Académie des Sciences, t. XI II, p. 10^6

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mêmes à la fin du choc, et qu^enfin les condidons on liaisons géométriques auxquelles les points du système sont assujettis ne doivent pas changer de nature avec le temps. M. Poisson a remarqué qu'une explosion ou une production subite de forces qui séparerait brusquement des corps d*abord en contact, doit toujours donner lieu a une augmentation de forces vives dont Texpression est analogue à celle de la perte dans le théorème de Camot.

S'il est certain que ce théorème ne peut pas s'appliquer à tous les changements très-rapides de vitesse, quelles qu'en soient les causes, il ne doit pas cependant être limité exclusivement au cas du choc des corps non élastiques. Le présent Mémoire a pour objet principal defidre voir quMl a lieu dans d'autres circonstances qu'il est utile de connaître.

Considérons un système de points matériels en mouvement, sollicités par des forces quelconques et assujettis des liaisons exprimées par des équations entre leurs coor données, qui ne renferment pas le temps explicitement Soient/7?, m', m'', . . . , les masses de ces points; x, >*, z les coordonnées du point m au bout du temps t ^ x', r\ z' celles du point m'; etc. : ces coordonnées se rapportant! trois axes rectangulaires fixes dans Tespace. Désignons par u la vitesse du point m au bout du temps f , et par a, by c les composantes de cette vitesse parallèles aux axes fixes desXïj", z\ soient de .même v^' la vitesse du point m' et a'f b'^ c' ses composantes, et ainsi de suite. Enfin soient