HOTE I

dx dr T

puisque,— = a, — = 6, . . . , et

dh dL dh , dh dh .

puisque les vitesses ^i, 61, . . . , sont compatibles avec les liaisons du système a l'époque t.

Donc, en retranchant les deux équations précédentes, on aura

djj , . dla ,. - .

rfL d\. ^

i<r dy

Donc on peut prendre pour vitesses virtaelles adi^ 6dty . • • , c'est-à-dire faire

Sx =2 ctdij 9jr = 6A, . . . , etFéquation (/) devient

Le second membre est égal à- €2\ mo)* et les composantes

de la force O étant — O — r » — 0 -r ' — Q-r-' la fofmule précédente revient à

d\ ntor.z^y Po)rfrcos(P,«)-H2\ Q6>r//cos(Qy •»},

ce qui démontre le théorème énoncé.

On peut encore supposer dans cette formule que les forces Q soient des forces égales et contraires à colles qui seraient capables de produire le mouvement fictif a l'aide

noTB I. 359

des liaisons données ; car on aurait, diaprés le principe de d'Alembert,

sans avoir

dûx

m -— = Q cos(Q, x) . . . .

Autrement, On a les deux équations

en appelant Xi, Y|, Z^ les composantes des forces — Q qui donneraient aux points le mouvement fictif. De là

Mais on peut prendre ix = a dtj iy = Sdt, . . . ,

Cette proposition comprend le beau théorème que M. Coriolis a donné pour l'extension du principe des forces vives ou de la transmission du travail aux mouvements relatifs en vertu desquels les points d'un système animés de leurs vitesses acquises à chaque instant s'écarteraient des positions infiniment voisines qu'ils prendraient dans le système solidifié. M. Coriolis a fait des applications importantes de son théorème : il en a donné

(*) Application. — Prendre le mouYement d*ane planète pour le mou- ▼ement réel et le mouYement elliptique pour le mouTement fictif.

(Nou Je M. Sturm.)

36o HOTE I*

un autre analogue pour estimer la force vive dans le mouvement fictif) et qui peut aussi être généralisé^ comme Texprime la formule suivante :

€i\ mp] =2 VP^t^Z/cosCP, P|) — a\^Q»rffcos(Q,»),

qui suppose, toutefois, les liaisons indépendantes da temps. Dans cette hypothèse, en ajoutant les valeurs pré-.

cédentes de d\ mu* et de d\ mu]^ on retroave Téqua-

tion ordinaire des forces vives.

Dans la démonstration de ces formules, on obserfe qu'en décomposant le mouvement réel de chaque pointai un mouvement fictif quelconque satisfaisant à tontes ks conditions du système, et en un mouvement relatif, ce dernier peut toujours être pris pour un mouvement virtuel quelconque compatible avec toutes les liaisons don* nées, quand bien même elles dépendraient du temps explicitement. Cette remarque suffit pour déduire de k formule générale de dynamique toutes les équations da mouvement relatif du système, en supposant connu le mouvement fictif à chaque instant.

Note sur le théorème de la page 353. — La vitesse da point m ne peut varier d'une manière continue depuis v jusqu'à 1^1 pendant le temps 9 si les nouvelles liaisons L = o, M = o^... sont indépendantes du temps ^ car pour t = o on a

dL iih ^

(I) IrfM ^d^l

puisque les vitesses i^ sont incompatibles avec les liaisons L = o, M = o,. . ., ovidh = o, rfM = o, . . . .

Mais dans Tinstant suivant t^, la vitesse devient v^ et

HOTE I. 36 r

doit être compatible avec L s=: o, M = o, . • . , puisque, ces liaisons doivent par hypothèse subsister depuis ts= o jusqu'à t = d et au delà . On a donc pour t = t'

(a) -T-a' -i- -r-fc -t-... = 0.

dx dy

Mais, dans les formules (i) et (a), 3-» "j- ' " * ^^^ *^^"

siblement les mêmes valeurs, puisque les points ne sont pas sensiblement déplacés. D'ailleurs la vitesse variant d'une manière continue, v' diffère infiniment peu de i^,

a' de £1, 2»'de 2»etc'dec. Donc -r- «4- -r- i-4-... diffère

dx dy

infiniment peu de -7-a'4- -7- i'-t-..., c'est-à-dire de '- dx dy

zéro, ce qui est faux, puisque les vitesses initiales a, i, c sont arbitraires, et que par conséquent ;7— ^ -h "T" ^ "*~ • • •

fIX €mX

peut avoir une valeur quelconque différente de zéro. Mais il n*y a plus aucune absurdité si l'on suppose que les liaisons L = o, M = o, . . . contiennent le temps pendant le temps 0 et deviennent ensuite indépendantes du temps ; car la liaison L = o peut être exprimée par ç(x, /, z, x',. . .) = f ou ^[t)^^[t) éunt très-petit pendant le temps 9 et nul après ce temps, tandis que 4^ (t) a une valeur finie qui s'évanouit après 9. En supposant, par exemple,

L = X» H- jr» -4- 2» — ^« 4- 2/ — ^ — 0 = o,

on aura pour un temps quelconque (depuis zéro jusqu'à 6)

djj dh dx dli dy dt dx dt dy dt

d*où, pour « = o,

dh dJj dL .

HOTB I.

Ici '-^ = a — ~> et pour t"=io<ma-r-=a. Les rt-

dl.

leurs de x, jr, z et celles de —, — > • • • ne varient pu

sensiblement pendant l'intervalle de temps 0. Mais-r-

décroit depuis a jusqn^à zéro et au delà de 9 reste nul, puisque L ne contient plus t.

Pour t ^ 0, on a

dh di

On a pour un temps t quelconque

dlr dy

dVL ^ dM ^

et comme -r-y -r-»*** restent sensiblement constants.

Jx, dy, $z sont constants pendant le temps 6 et les mêmes qu'à la fin du temps 0. On peut donc prendre ix = ai dt^ dy =■ b^ dt^ . . . , puisqu'on a ainsi

dla dh

-— rt| -;- -— 6, -f- . . . = o, dx djr

à cause de — = o, c'est-à-dire prendre pour déplace-

ment virtuel pendant tout le temps 9 le déplacement réel qui a lieu à la fin de ce temps quand L est devenu indépendant du temps. Or on a, en faisant abstraction des forces extérieures.

> m -— - Jx -4- . . , 1 = o.

Intégrant, en supposant dr, ^yy* constants depuis