MOUVEMENT DE LA TERRE
(Leçon Cftite par U. Storm à la Faculté des ScIeDoet, eo Jain xssi.) f)
Soient X, T, Z les coordonnées^ rapportées à trois axes TïQ, ïQ!. rectangulaires fixes, de Tex-
trémiié M du pendule : le point M est sollicité par deia forces dont l'une est la ré- ~^ sultante des attractions des diverses parties de la terre, ^ tandis que Fautre provient de l'attraction du soleil et des autres corps célestes. Nommons geif ces deux forces rapportées à 1-unité de masse et désignons par g^ g ^ g ,
fv ^^T' fz '®"^* composantes parallèles aux axes. En appelant cïX, 5 Y, 3Z les variations des coordonnées X, Y, Z
(*) Nous devons à robli^^eance de M. Puiseux la rédaction de cette Leçon, sur laquelle nous n'arons trouTc, dans 1^ papiers de M. Sturs, que des Notes incomplètes.
ifOTB II. 365
qui résultent d'un déplacement virtuel quelconque du point M, on aura Téquation
(^-ff,-/z)*Z = o.
Appelons a, |3, y les coordonnées du centre de gravité G de la terre et x^jy z celles du point M par rapport à trois axeé parallèles aux axes fixes menés par le centre de gravité. On aura
et si l'on observeque les composantes y^, ^ , . . . , peuvent
aussi bien être représentées par^^^, g^^ . . . , on remplacera Téquation précédente par celle-ci
\d^'^'dô'^^''-^'r-^\j^^
Mais si Ton admet, comme nous le ferons, que la forceysoit la même en grandeur et en direction pour tous les points de la terre, et si Ton nomme fx la masse d'un point de celle-ci et M sa masse entière, les principes généraux de la dynamique nous donneront Téquation
On aura de même
'dF~-'^' 'dF-'-^"
Par suite Téquation établie ci-dessus deyicndra ainsi le mouvement du pendule sera le même que si, le
356 ifOTB II.
centre de gravite étant immobile, le point M n'était soa* mis qu'à Tattraction de la terre.
Supposons que Taxe Gz passant par le centre de gravité soit Taxe de rotation de la terre (*). Soit P le point de suspension du pendule PM; abaissons du point P sur l'axe la perpendiculaire PK que nous désignerons par r;
appelons n la vitesse angulaire de rotation de la terre et comptons le temps t à partir du moment où la droite PK se trouvait dans le plan Gjrz \ les coordonnées du point P relativement à l'origine G seront
Fig. ig3.
y = rcosntf
A' désignant une constante. Si Ton prend la seconde sidérale pour unité de temps, le nombre n est ëgal à
ou environ — — -*, on voit que c'est une petite fraction.
Regardons maintenant le point P comme rorigine de trois nouveaux axes de coordonnées PjCj, P^'i, Pr, que nous supposerons emportés avec la terre. Nommons û, i.r les cosinus des angles que Gx fait avec ces nouveaux axes, a\ i', c' ceux des angles que fait Gjr^ et a", i', c ceux des angles que fait avec les mêmes axes le prolongement Gz* c]e Gz, On aura
xz= rsïnnt -h ax^ -f- bji -f-rz,, y : rcosnt -]- a'x, -f- b^ fx H- c's,, :; --,: k — [a^x, -:- b\Y, -:- c"zy).
r.a quantité g^ Sx -^ gj^jr-h g^ oz exprimant If niL>-
(' ) Ll ijut; les z positives soient diri«;écs ver» le pOle boréal j admoii-^n» (î(î plus (l'ie la rotation se fasse de Gj vers Gz,
KOTB II. 367
ment virtuel de la force g^ conserve la même valeur quels que soient les axes des coordonnées-, l'équation
peut donc s'écrire
Mais on a
dt
j-Sz=g:,J.Tt-{-g^JXt'^g*i^2i'
Fig. 194.
9x:= aSxi -h bSxi "^ cdzt.
D'un autre côté, menons par le point P les droites
PC, Pyj, PS respectivement parallèles à Gx, Gy, Gz^ et dans le plan PÇy] perpendiculaire à Gzy menons PE perpendiculaire à la droite KPF, dans le sens de la rotation.
Les angles des droites PE, PF avec Pxi, Pj^i, Pz^ ne varieront pas avec le temps, et Pangle FPy; étant égal à nt, on aura (*)
n z=z cosx, PC = cos/ir cosEPx, -;- sin/ircosFPx, , b nr cosj, PC = cos/^r cosEPj, -i- sin/7/cosFPj, , c -z ccsz, PC --= cos/ircosEPs, -- sin/ircosFPz, ,
a' -- cosj:,Pïï =1:: — sin/i/cosEPjïr, -h cosfrrcosFPx,. b' ■-:: cosj.Ptj -— — sln/if cosEPj, -h cos/îrcosFPj,, r' r- coss,P>3 --" — sin/i/cosEPz, -4- cos/ircosFPsi:
a"^ h'\ c' sont indépendants du temps.
C) La première de ces équations, par exemple, s'obtient en prenant
sur r^ une 1oii{;ucuréga1cà Tunité; en la projetant sur ox^, on a a; mais
on i^out nu si projeter, au lieu de P^, ses composantes suivant PE et PF.
Ce qui donne
008 nt cos £P x^ + sin nt cosFP x^ .
30$ .aoxB u.
On cofidat de ces fonaules
et
d^ di
:=ina'
= — na
— di
dy di
-7- = nb\ -y = m^f
= -nbs --?r= —
de
d^ di
L*éqnation
nous donne par suite
iix dxx . dY\ <fi| . ,. .
clir di di di ''
d'x . . d*Xi , rf*r,
i/r- ift» di^
rf>s.
