SUR LA COUPOSITION DES ROTATIONS

Considérons un solide animé d'un mouvement de rotation aulour d'un axe fixe 01, soit o) sa vitesse angulaire. Poinsot a proposé de représenter géométriquement cette rotation à l'aide d'une droite placée sur OI et égale à ci). Il donne à cette droite une direction telle, qu'un observateur ayant ses pieds à l'origine et sa tôle à rextrémité verra le mouvement s'effectuer dans le même sens que les aiguilles d'une montre.

Ceci posé, nous allons démontrer que si un solide est animé successivement de plusieurs mouvements de rotation O), w', 0)". . . effectués dans des temps égaux rff autour d'axes concourant au même point, on pourra l'amener de sa position initiale à sa position finale à Taide d'une rotation unique ft, égale en grandeur et en direction à la résultante des droites qui représentent w, o)', o) '',... et effectuée pendant le même temps dt.

Il suffit évidemment de démontrer le théorème pour le cas de deux rotations, la généralisation se fera sans difficulté.

WOTE III. 377

Soient 01, OF les axes des rotations concourants ci), a>',

et soit M un point du solide situé dans le plan lOI'; en venu de la rotation a> effectuée autour de 01, le point M va décrire un arc MM' égal kptùdt^ p désignant la distance du point M a Taxe OI; en vertu do la rotation effectuée autour de OI', il décrira un arc M'M" égal à p'tù'dt^ p' désignant la distance du point M à 01'; si le point M est à Tintérieur de l'angle lOI', les arcs ptùdt, p'uï'dt seront parcourus en sens inverse, en sorte que Tare total sera, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

{/7« — p't»i')dt\

le point M, comme on voit, reviendra dans sa position primitive si Ton a

Cette formule exprime que le point M se trouve sur la diagonale du parallélogramme construit sur o) = 01 et 0)' = 01', tous les points de cette diagonale reviennent donc à leur position primitive, le mouvement total se réduit donc à une rotation autour de la diagonale en question; il reste à prouver que cette rotation est en grandeur la résultante de o) et o)'; prenons le point M sur 01, sa vitesse se réduit à p'o)', puisque dans la première rotation il reste immobile : en divisant p'a)' par q^ distance de 01 à la diagonale ON du parallélogramme construit sur 01

et or, on aura la vitesse angulaire A = — ci>' du mouvement résultant ou

a)w'sin(6>, w') w'sin(w, w') 6>sîn(6>, ON) sin(wyON)

Ce qui démontre le théorème que nous voulions établir.