Soit CC'D'D une surface plane comprise entre
deux courbes CD, CD', et deux droites CA, DB perpendiculaires à Oor; soient G (xi,yi) le centre de gravité de cette surface, et X "i ^ son aire ; on aura
Fig. 38.
^x^ = ^f{x'-y')dx,
les équations des deux courbes CD, CD' étant
Soit V le volume engendré par la révolution de Taire X autour de l'axe Ox situé dans son plan, on a
donc
y=^J[y-y')dxi
Ainsi, le volume engendré par la révolution d'aune aùre plane autour d*un axe situé dans son plan est égal à Voire de la sur/ace génératrice, multipliée par la cii^ férence que décrit son centre de gravité,
91. Si Faire n*accomplissait pas une révolution entière, le volume engendré serait égal à Taire X multipliée par Tare de cercle que décrit le centre de gravité de Taire.
93L Par exemple, soit un cercle de rayon a, tournant
8IXI£]fB LBÇON. 5g
«uttmr d'un axe situé à nne distance CH = A de son Fig^Sg. centre, nous aurons
et, par suite,
S = /^n*ah, V = Sir'aVi.
Si une ellipse dont les axes sont naei ab tourne au- FSg. 40. iQur d^iiQ iixQ^ situé dans son
y^ ^ plan à une distance h de son
centre, on aura
Yz=iin*abh.
93. Le théorème de Guldin relatif aux volumes est susceptible d^extension.
Si une surface plane se transporte dans V espace de telle sorte qu'un de ses points restant toujours sur une
courbe quelconque IK, son plan demeure constamment normal à cette courbe, le solide engendre par le moui^ement de cette surface aura pour mesure Paire de la surface, multipliée par la courbe que décrit son centre de grai^ité.
En cfTet, soient MO et M'O deux droites infiniment voisines suivant lesquelles le plan de la surface mobile rencontre successivement le plan osculateur de la courbe IK au point M. Les deux plans qui auront ces droites pour trace étant normaux à la courbe, se couperont sur one droite projetée en O et perpendiculaire au plan osculateur MM'O de la courbe au point M. Cette droite est Taxe du cercle osculateur et O en est le centre. Donc, quand la surface génératrice passera de la position qui correspond
Flg. 4s-
60 CO«M DE MicUlIQtlE.
à OM, à celle qui correspond à OM', elle pourra être supposée touraer autour de l'arc projeté eu O. Dès lors le voluDiedu solide engendré par ce dcplaceracntinfimmeni petit aura pour mesure l'aire de la surface mobile, multipliée par le petit arc de cercle que décnt le centre de gi-avité de cette surface. La même chose peut se dire de chaque élément de volume ainsi formé ; ou voit doue bien que le volume total sera égal à l'aire génératrice molrïpliéo par la courbe que décrit le centre de gravité.
On remarquera que le plan de la surface mobile reste toujours langent à la surface développable formée par les intersections successives des plans normaux à la courbe directrice.
VOLOME DU CYLlKOnE.
94. Soit ABCD un cylindre dont la section droite est ÂB, coupé par un plan CD incliné à ses arêtes. Soient X' l'aire de la base ÂB, et Zt la distance du centre de gravité de la base supérieure à la base inférieure.
Je dis que le volume du cylindre ABCD est égaUA'2,.
En effet, soient Ox, Oj', Os trois axes rectangulaires, dont deux, Ox, Oy, soient dans le plan de AB. En désiguant par À l'aire CD et par u l'aire d'an de ses éléments infîniment petits, on aura (72)
Soient 9 l'angle des deux plans AB et CD, et u' la projeclion de oi sur le plan AB, on anra
m'^ngosO, l'^lcosO.
En multipliant l'égalité (1) parle facteur cos6, on aura
)icos6i,= / liucose
-ff-
SIXIÈME LEÇOIV. 6l
oa
(a) Vz,=zÇÇz<^\
Or, z étant la hauteur du centre de gravité de l'élément (ùy z(ù' est le volume du cylindre infiniment petit
wù'j et dès lors j I z(à' est le volume du cylindre entier
ABCD. On a donc
(3) V = Vs,.
Ce qu'il fallait démontrer.
96. Le centre de gravité G' de la section droite ÂB est la projection du centre de gravité G sur le plan de la section droite.
En effet, soient Xi, j^i, Zi les coordonnées du point G, et x\ ty\t o celles du point G'. On a
d^où Ton déduit, en multipliant par le facteur constant cosO,
on aurait de même
donc
ce qui démontre la proposition énoncée.
96. De là résulte que les centres de gravité G, G', G'', de toutes les sections planes faites dans un cylindre quelconque sont sur une même droite parallèle aux arêtes.
Sa CO0BS DE xCcahique.
EnGn on peut ea déduire que le volume d'un cylindre Fie- .'(3, quelconque EFCD est ^al à
l'aire d'une section droite, multipliée par la distance GG" des ceu très de grari tédesdeuxbases.
Eu effet, soient Vt le volume ABCD, V, le volante ABEF, et y le volume EFCD. En désignant par V l'aire de la section
droite AB, on aura
