OX

dx'

dx ' ' dr ''^ ' dz dx

Ces équations au nombre de / contiennent 3/i variations ox, o», Sz,,. . ; il y en a 3/î — i qui sont arbitraires, et les autre?, ao nombre de / , dépendent de celles-là. Si on porte les valeurs des dernières dans Téquation

y (Xd"x4-y^j-f-Z^z)

celle-ci contiendra seulement 3/i — i termes multipliés chacun par Tune des B/i — / variations arbitraires, dont il faudra égaler à zértles 3/î — / coeflQcients. On aura ainsi 3/2 — i équations qui, jointes aux équations (i), donneront 3/? équations nécessaires et suffisantes pour réquilibre.

460. L'élimination de / variations au moyen du système ( 2 ) p^ot se faire par la méthode des multiplicateurs. Nous aurons les 3«

DBS XATlàKES. 395

équations suivantes :

^ -rfL , dM , rfN ,

^+^rfF'*"'*"5^"^'^"^- ••=•*•

„ - rfL . rfM . rfN

^ + ^^+'*rfF + "'-S-^--- = *'

Y, , .rfL^ rfM^ rfN^ ^-^^rf? + '*rfP + -^^+--^*»-

461^ 462. Réciproquement, si ces équations ont lieu, les forces se font équilibre, quand on y regarde x, 7, z comme seules variables.

Los conditions L = o, M = o, N = o, . . ., peuvent être supprimées pourvu que Ton applique au point Â les forces

.dL ^ dx'

^dx^

^dr'

.dL ^dz'

^ dz'

rfN 'rfz'-

au point A' les forces

. dL

^dx''

dVi ^dx''

rfN dx''

'dy'

. dL

^ dz'' et ainsi de suite.

^ dz''

rfN ' dz' '

463, 464. Sur les divers MOUVEMEim virtuels d'un ststIuib.

— Un mouvement virtuel quelconque se compose de Zn — i mouvements virtuels particuliers et distincts.

465. En général, soient L =: o, M = o,.. . les équations de condition. On prendra 3/2 — i quantités ?,+,©,.. . fonctions de x, 7, z^ x',..., et dont les variations seront toutes arbitraires. L'équatien des vitesses virtuelles deviendra

^^ -f- "k'^ -^ edO -J-. . . - o;

on aura

396 TABLE AZIÂLmQVB

TRENTE-ONQUIÈME LEÇON.

APPLICATIONS DU PRINCIPE DBS VITESSES YIRTUBLLIS.

466. Équilibre d*un solide invariable. — Les condilions d'équilibre d'un système solide, formé de n points matériels liés entre eux d*une manière invariable, sont au nombre de six.

467. On obtiennes trois premières équations d^équilibre, en donnant au corps trois mouvements de translation parallèles aux axes.

468. On obtient les trois autres équations d'équilibre en Cnsut tourner le corps successivement autour des trois axes, ce qui don»

2(Y*~X/) = o, 2(Zr-Y2) = o, \^(Xz — Zx) = o.

469. On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les équations des moments sous leur seconde forme

So,

470. Autre manière d'obtenir les conditions d'équiubre d'h SYSTÈME solide. — L'équatioD générale

peut être mise sous la forme

Les variations ^a, (îS, . . . , étant arbitraires, cette équation ne pwt avoir lieu que si les coefficients de ces variations sont nuls; on retrouve ainsi les conditions exprimées plus haut (467, 468).

471 . Équilibre d'un système solide gâné par un obstaclb. — Si le système renferme un point fixe, il y aura seulement trcê équations d'équilibre entre les forces.

DBS MilTIÈIlES. 397

472. S*il y a deux points fixes, ou, ce qui revient au même, un axe fixe, il n*y aura qu'une seule équation d'équilibre.

473 à 477. Équiubee du poltgonb funicuuubb.

478. Sur une PROPRiéré de l'équiubrb. — Lorsque le premier membre de l'équation

V (X^jr-f YSx-h2,$z)=o

est la variation exacte d'une fonction /(x, jr, a. . .) de x, 7-, z, x', x\ 2', . . . , considérées, soit comme des variables indépendantes, soit comme des variables liées entre elles par les équations L = o, M = o ; alors pour la position d'équilibre, et seulement pour cellelà, la valeur correspondante de la fonction /(x, j, z,...) est un maximum ou un minimum, si toutefois cette fonction est susceptible d'un maximum ou d'un minimum. L'équilibre est toujours stable quand le maximum existe.