Maximum et minimum de la valeur de z. — L'équation
a trois racines réelles : une première a comprise entre / et 3,, ucfl seconde b comprise entre z^ et z — hy et une troisième négative — c
entre — / ot — qo . La variable z restera comprise entre a sa valeur maximum et 6 sa valeur minimum.
582 à S84. Expression du temps emploté a pargoueubl un arc
DE LA TRAJBGTOIRB.
QUARANTE-CINQUIÈME LEÇON
PERDULB CONIQUE ( SUITE). — MOUVBHKNT d'uNE TIGB PESANTE.
^S5, 586. Calcul de l'angle "f** 587y 588. Tension du fil. — On a
589. Cas ou le pendule 8*écarte peu de la verticale. — On a à peu prte N = ^ : en posant
La projection horizontale de la courbe décrite est une ellipse dont les axes sont ^% et it6.
La durée de la demi-révolution est ^ \/-) c'est-à-dire égale à
celle d'un pendule de même longueur qui oscillerait dans un plan vertical.
590. La projection du pendule sur un plan horizontal décrira encore à très-peu près une ellipse si Tangleque le pendule fait avec la verticale varie très-peu.
La durée de la demi-révolution est n 4 /- ) valeur moindre que
591 à 505. Mouvement d'une tige pesante tournant autour d'un de ses points qui est fixe.
4 19 TABLB ▲ITÀI.TTIQVB
QUARANTE^IXIÈME LEÇON.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUTBHBIIT. — ■OUTCMEirr
DU CENTRE DE GRÀYITÉ
r>97. Remarques sur les systèmes de points qui psuyent si MOUVOIR COMME DES CORPS SOLIDES. — GoDSidéroiis un système de points matériels m^ m', m", . . . , sollicités respectivement par des forces P, F, P',. . ., dont les composantes parallèles aux axes sont X, Y, Z; X', Y', Z';. . . . Si les liaisons sont telles, que les points puissent se déplacer sans que leurs distances changent, on aura
S98, 399. Polir que le système puisse se déplacer comme un corps solide, c*est-à-dire sans que les distances de ses points virient, il faut et il suffit que chaque équation de condition se réduise à une relation entre les distances de ses différents points.
600, 601. Mouvement du centre de gravité. — Le ceiure de gravité de tout système libre se meut comme si les masses de tous les points matériels y étaient réunies et que les forces motrices y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.
602. Vitesse initiale du centre de gravité d*un système mis en mouvement par des forces instantanées. — Cette vitesse est celle que prendrait un point ayant la masse M , placé au centre de gravité et qui serait sollicité par toutes les forces instantanées du système transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point.
603, 604. Conservation du mouvement du centre de cRAvrrÉ. — Quand toutes les forces motrices transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque s*y font équilibre , le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme.
605. Si l'on considère les quantités de mouvement de toutes les molécules comme des forces et qu'on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles donnent une résultante de grandeur et de direction constante. Le centre de gravité se meut suivant une ligne droite parallèle à cette résultante et avec une vitesse égale à cette résultante divisée par la masse totale du système.
DES MATikEES. 4^3
QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON
PBOPRIÉTÉS GtNÉRiXSS DU MOUVEMENT RELATIVES AUX AIRES.
606. Relations entée les quantités de mouvement d'un système. — • Dans un ensemble de points matériels qui peuvent se déplacer comme un système solide, on a
Ces équations subsistent s*il y a dans le système un point fixe, pourvu qu'il soit pris pour origine des coordonnées.
607. Lorsqu'en supposant le système solidifié, les forces qui le sollicitent so font équilibre, ou bien encore lorsqu'elles se réduisent à une force unique passant par Torigine des coordonnées, la somme des^ moments défi quantités de mouvement des masses du système par rapport à une ligne droite quelconque est constante.
608. Si Ton considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du systènae, qu'on les compose comme si elles étaient appliquées à un corps solide, on trouvera toujours la même résultante et le môme couple résultant par rapport à une môme origine. Le moment de ce couple résultant est
A = ^c*-f-c'^-4-c% et son plan, perpendiculaire à la droite qui fait
c' c' c avec les axes des angles ayant pour cosinus j' t> 7) ^ pour
équation
c'x -f- c'x-hcz = o,
c, c', c" étant les sommes des quantités de mouvement par rapport aux axes des z^y^ x.
609. Principe des aires. — Quand les forces motrices appU" guées à un sjrsième se font équilibre en supposant le système soli" difiéy ou bien quand toutes ces forces ont une résidtante unique passant par l'origine des coordonnées, la somme des aires décrites par les projections du rayon vecteur sur chacun des pUms coordon^ nés multipliées respectivement par les masses des points correspond dants est proportionnelle au temps. C'est ce qu'on appelle le principe de la conservation des aires.
4l4 TABLE ÂMALTTIQUB
610. Celle loi a lieu en particulier quand les forces motrices do système se réduisent à des actions mutuelles entre ses diflérenis points ou à des forces constamment dirigées vers un même poiiil fixe, pourvu qu'on prenne celui-ci pour Torigine des coordonné».
611, 612. Du PRINCIPE DES AiaÉS DANS LE HOUVEHENT mSURIP.
— Prenons pour origine un point mobile avec le système O,. Désignons par x^y Xii ^1 ^8 coordonnées par rapport à un 83rstèa» fixe Ox, Oj, Oz. Soit m un point ayant pour coordonnées ', j, s dans l'ancien système et S, v, C dans le nouveau ocxnposé de trois axes 0^x^^ O^XtJ 0^z^ parallèles aux anciens et mobiles avec le point 0^. On aura
si 0, est le centre de gravité, ou si Ton prend pour orig;ine mobfle un point qui ait dans Tespace un mouvement rectiligne et uniforme, enfin si la force accélératrice du point 0, est constamment diri^ vers le centre de gravité du système.
613. Si l'origine des coordonnées mobiles est choisie de l'une de ces trois manières, on aura, par rapport aux axes dont rorigine est mobile, des propriétés semblables à celles qu'on a trouvées pour des axes fixes.
614. Plan du maximum des aires. — Dans Un système de points en mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en prenant pour origine un point fixe ou mobile suivant les conditions établies précédemment, // existe un pian Jixe tel, que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayom vecteurs des points mobiles sur ce plan, multipliées par leurs masseSy est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même , quel que soit le temps écoulé. On l'appelle pkut du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est
et la somme\^ mw relative à un autre plan de projection se dédmt
de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le de Fangle des deux plans.
DBS MATIERES. 4>5
Ce plan est le même que celui du couple résultant des quantités de mouvement du syslème solidifié (602).
QUARANTE-HUITIÈME LEÇON
DES FORCES VITES DANS LB MOUVEMENT p'UN SYSTÈME.
615 à 617. Principe des forces vives. — Dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps, [accroissement de Ut somme des forces vives de tous les points y pendant un temps quH» conque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces pendant le même temps»
618. Conséquences du principe des forces vives. ~ Dans un système , assujetti à des conditions quelconques, mais qui ne dépeth' dent pas explicitement du temps, s'il r^y a pas de forces motrices ou si les forces motrices se font continuellement équilibre ^ la somme des forces vives reste constante.
Ce principe est connu sous le nom de principe de la conservatkm des forces vives,
619. Si la fonction V(Xri:r + Yrfr-f-Zf/3) est la différentielle
exacte d'une fonction/ des variables x, y^ z, x',. • ., considérée» comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = o, M = o, . . . , lorsque le système passe d'une position à une autre, V accroissement de la somme des forces vives ne dépend que des coordonnées des pçints dans ces deux positions,
620. Si les points mobiles occupent la même position k deux époques différentes t et r,, la somme des forces vives aura la mdme valeur à ces deux époques, pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonction f(x^y^ z^ ^t***) reprenne aussi la même valeur.
621. L'expression^ (Xdx -+■ Ydy -+- Zdz) est une différentielle
exacte quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes , et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les p(mits du système, actions dont les intensités sont fonctions des des points entre lesquels elles s'exercent.
4l6 TABLE AirAl.TTlQDB
