Si les corps sont parfaitement élastiques
m -r ffi' ni -^ m'
Si m' est infiniment grande par rapport à /n, le coips choqué demeure en repos^ tandis que Tautre est réfléchi en sens contraire avec une vitesse égale à celle avec laquelle il est venu rencontrer ic premier.
638. Quand les deux masses m et m' sont égales, si les deux corps sont mous,
Si les deux corps sont parfaitement élastiques, ils ne feront qu'échanger eur vitesse.
Si l'un des corps était en repos, Tautre restera immobile après le choc et lui transmettra sa vitesse.
639. Théorème de Carnot. — La somme des forces >'ives dc change pas par l'effet du choc quand les corps sont parfaitement élastiques. Mais lorsqu'ils sont mous, elle diminue et la différena
DES 3CÀTIÈRS8. 4^9
est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses acquises ou perdues par les deux corps :
mv'-^ m'v'^' — (/w 4- m') a' = /w (p — ii)= 4- /w' (tt — v'Y.
On peut encore mettre cette perte de force vive sous la forme mm' ,
640. Mouvement du centeb de ORAvrrÉ commun. — La vitesse du centre de gravité commun reste constante avant, pendant et après le choc.
64i. Principe de la moindbe action. — Dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si Ton multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et par l'élément de sa trajectoire, et qu*on intègre la somme de ces produits depuis une position donnée du système jusqu'à une
autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale / ^mods
est généralement un minimum.
Quand les points mobiles ne sont soumis à aucune force, on a
Le temps du trajet est un minimum.
CINQUANTIÈME LEÇON
SUE LA ROTATION d'UH CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT HXB.
G42. Formules relatives au déplacement d*un corps solide.
Fi{;. 173.
— Soient Ox, 0^, O2 trois axes fixes dans Tespace et Ox,, 0/p Oz, trois axes liés au corps et tournant avec lui autour du point 0. On a les formules
X z^-a X, -;- b Xi-hc z, ,
z-= a' x^ -i- b" Xi n-c''z^,
Les axes étant rectangulaires,
4^0 TABLB ÀITALTTIQUB
on a les relations connues
ac -h a^c' + o^c' = o ,
rt'4-^'-4-c» =1, aa* -{- bb* '\' ce' =o,....
643. Composantes de la vitesse 9 du point m parallèles aux axes fixes :
dx ^ i db de
'di^'^'dt'^^'di'^^'di'
da'
db'
dt~ ' dt ■^•^' dl
dz
dà
db'
':j: — ^i'zjr "^^1 "wT"^ 'i :7r
dt
dt
dt
dt.
Si la position des axes est celle qu'occupe le système mobile des axes Ox,, Oj„ Os,, au bout du temps /, et si tf„ v^^ o^, sont les composantes de la vitesse v parallèles aux axes Ox^, 07-,, Oz,, et posant
Î^__*L'- ^-^-^ dc^db
dt dt ^* r/r ■ dt "■ '''
nous aurons
644. Si Ton reprend des axes fixes quelconques O j:, O7, Oc, od aura
643. Axe instantané. — Les points du corps dont la vitesse est nulle à répoque r, se trouvent sur une droite donnée par Téqua-
tion
On rappelle l^axe instantané de rotation. Les lieux des axes instantanés dans le corps et dans Tespace sont deux surfaces coniques ayant pour sommet le point fixe 0. Le mouvement du corps n'est autre que celui du premier cône attaché au corps, roulant san» glisser sur la surface de Tautre cône fixe dans Tespace.
646. Soit 01 Taxe instantané, au bout du temps / : on a cosIO^c, = ^, cosIOj, = ^> cosIOa» = -,
DES 3CÀTIÈRIS. 4^1
en posant
«' = jy' 4- ^* 4- r\
647. Quand les rapports ^9 2 seront constants^ l'axe de rotation
restera fixe dans le corps et par conséquent aussi dans Tespace. On a, par rapport aux axes fixes,
cosIOx = — j
cosIO^-
eu
COSiOz = — ^
ea
648. DÂTBRMiNATiON DE LA vrTBSSE V. — Los quantités qz^ — ry^^ rx^ — pz^y py^ — q^^i qui sont nulles pour tous les points situés sur l'axe instantané, expriment pour un autre point quelconque m les composantes de la vitesse parallèles aux axes Oxp 0/,, Oz,.
Les valeurs de /?, ^, r, sont indépendantes de la position des axes fixes Ox, Oy, Oz.
649 à 65i. On a
— = a (qz^ - rrj 4- 6 [rx, - /?z, ) -h c (/?/, -« qx,),
dr
dt
p étant la perpendiculaire abaissée du point m sur Taxe 01. Ainsi «» est la vitesse angulaire ou de rotation.
652. Somme des foeges vives. — La somme des forces vives de tous les points du corps est
2 mv" = kp' 4- B^y= 4- Cr',
Â, B, C désignant les moments d'inertie du corps par rapport aux axes Oj:, Oy^ Oz.
La somme des forces vives est égale au carré de la vitesse angulaire divisé par le carré du diamètre de Tellipsoïde central qui coïncide avec Taxe instantané*
653. Moments des quantités de mouvement. — En nommant Â, B, G les trois moments d'inertie principaux du corps pour le
4^^ TÂBLB ▲nAI.TTIQUB
point 0, kp^ B^, Cr sont les sommes des moments des quantités de mouvement des points du corps par rapport aux axes prîndpaiix.
654, Sommes des moments des quantités de mouvement par rapport à trois axes fixes :
^/n (z § - X ^) = kpa» 4- Bçft'-H Crc'.
655. Relatioivs BNTaB les cosinus a, 6, . . . et les coxFosàiras
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