Lieu des axes du couple résultant. — On a

G'-^A// G^-B/i . G^ - CJi .,, .

équation du cône décrit dans le corps par l'axe fixe OG.

674. Les axes principaux relatifs au point 0 sont les seuls q^\ puissent rester immobiles avec un mouvement de rotation uniforme.

G75 à 678. Mouvement d'un corps solide entièrement libre. — Le mouvement d'un corps solide libre, sollicité par des fora'5 données, sera connu quand on pourra déterminer le mouvemoci absolu d'un de ses points et le mouvement relatif de tout auln» point du corps autour de celui-là. On pourra choisir à volonté ie

DBS XATIBRBS. 4^5

point dont on conndère le mouvement de translation. Mais , dans 1 application, il est avantageux de prendre le centre de gravité.

Sous r action des forces motrices le mouvement de rotation autour du centre de gravité est le même que si ce point était fixe.

679, 680. Mouvement d'un blupsoïde.

CINQUANTE-DEUXIÈME LEÇON

MOUVEMENT d'uNE CORDE VIBRANTE.

681. Équations du mouv'ement. — Soit c le produit de la section

Fîg. 176.

normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB, p le poids de la corde, / sa longueur primitive ÂB, T la tension au point M , o le poids tenseur : si Ton néglige les forces motrices^ on a

d.lT

(x-f-tf)"] ^

ds

— dx.

gl dt

X est Tabscisse primitive, z-hu l'abscisse pendant ce mouvement.

682 à 685. Cas des petites vibrations. — g étant on eoefficient constant pour la même corde, on a

du

et, en posant — = a', — = «%

d^u d*u dt' ^ (ix''

dt'^^ dx'^

d^z dt'

fTz dx'

4a6 TÀBL« IVALTTIQVB

Les moarements des points de la corde parallèlement aux aies asroui indépendants et coexisteront sans s'influencer mntoeUenait

686 à 688. ViBEànoNS tbansversalbs. — L'ôqoation

a pour intégrale générale

7 = ç (x -4- af ) -H + (x — û/).

Soit pour r = 0,

Posant, pour abréger,

ona

?W = ^l/W-î-FW-4-C],

La fonction ^(2;) est périodique et a pour période ^l, Oxame od connaît cette fonction pour toutes les valeurs de la variable comprises entre zéro et il^ elle sera connue pour toutes les valeurs de ^ positives ou négatives.

689, 690. L'autre fonction -^ est périodique, comme la première,

et sa période est aussi 2/.

La corde fait une suite de vibrations toutes égales et isoch^otte^

2/ dont la durée est — •

69i . La résistance de l'air et la communication d'une partie du mouvement do la corde à ses deux points extrêmes A et B diminuent graduellement l'amplitude des vibrations et finissent par les anéantir, sans toutefois altérer sensiblement leur isochronisme.

692. Si l'on désigne par T la durée d'une vibration de la corde et par n le nombre des vibrations dans Tunilé de temps, on a

DBS MATliRBS. 4^7

Pour une même corde, le nombre n est proportionnel à la racine carrée de la tension 9 ; pour des cordes d'une môme matière et d'une même épaisseur, les nombres de vibrations sont en raison inverse des longueurs. BnGn pour des cordes de même longueur et également tendues, n est en raison inverse des racines carrées de leurs poids. L'expérience a confirmé ces lois.

693. NoBUDS DB VIBRATION. — 11 y a dos cas OÙ la corde, en raison de son état initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément en un certain nombre de parties égales vibrant à l'unisson et dont les points de séparation, appelés nœuds^ restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le son s'élève proportionnellement au nombre de ces parties.

La corde ayant, sans vitesse initiale^ la forme de la courbe

7 -- C sin —7— ) si on l'abandonne à elle-même, elle effectuera une suite indéfinie de vibrations isochrones.

694. Le nombre de vibrations effectuées dans l'unité de temps sera m —i c'est4-dire m fois celui qui correspond au son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.

695. Dans ce cas la corde se partage spontanément en m parties égales qui vibrent comme si elles étaient séparées, de sorte qu'il y aura m — i nœuds de vibrations.

696. 697. ViBBATioifS LONcrnJDiNALBS. — Si l'on désigne par n' le nombre des vibrations longitudinales effectuées dans l'unité de temps, on a

"'^îy/g' J = v/1

De deux sons les plus graves rendus par une même corde, celui qui correspond aux vibrations longitudinales est de beaucoup le plus aigu.

CINQUANTE-TROISIÈME LEÇON

ÉQUILIBRE d'une MASSE FLUIDE.

698. Notions pRiLiMiNAiBBS. — L'hydrostatique a pour objet les lois de l'équilibre des fluides. Un fluide doit être considéré comme un assemblage, en apparence continu, de molécules matérielles qui cèdent au moindre effort tendant à les séparer les unes des autres.

428 TÂBLB ANALYTIQUE

L'hypothèse d'une mobilité parfiaite pourrait conduire à des résoltats peu conformes à l'expérience dans le cas d'an fluide en mouvement : mais si Ton excepte quelques liquides où la viscosité est considérable, les lois de l'équilibre auxquelles nous parviendrons en supposant les molécules parfaitement mobiles et sans aucune cohésion, s'appliqueront sans erreur sensible aux fluides naturds.

699. On distingue deux sortes de fluides, les liquides et les gaz ou fluides aériformes.

700. Pression d'un liquide sur une paroi. — La pre^ion aa point M est la limite du rapport de la pression exercée sur Télément u qui comprend le point M à l'aire u, quand cette aire &» tend vers zéro en comprenant toujours le point M.

701. Égauté de PREâsioN EN TOUS SENS. — On admet comme un résultat de l'expérience ou comme une conséquence de la distribution uniforme des molécules des fluides , que la direction de la pression est toujours perpendiculaire à l'élément de surface w sur lequel elle s'exerce.

Si , en un point quelconque de l'intérieur, on suppose une paroi plane solide, il y aura sur chaque élément de cette suîface une pression toujours perpendiculaire à son plan. H y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si Ton considère une surface infiniment petite o passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée par lo fluide sur chaque face de Télément » sera toujours la même, quelle que soit la position que Ton donne à Télément w, en le faisant tourner autour du point M.