APPLICATION
IH. Nous allons appliquer les formules précédentes à la recherche du centre de gravité d'un corps homogène, terminé par deux surfaces sphériques concentriques de rayons a et & et par la surface d'un cône droit ayant son sommet au centre commun des deux sphères.
Prenons pour origine ce centre et pour axe des x Taxe dac6ne. Le centre de gravité sera évidemment situé sur cette droite. Nous n^aurons donc que la seule coordonnée X| k déterminer au moyen des formules
Or, on a
' d^ j siner/0 / r'dr, o Jo J a
Jnl'R /»« r*h
\ d^ j sinBcosOdQ I r^dr.
o Jo Ja
sinôrfô =3 1—. cosa = 2sin'-a,j
doûc
(S) Vzi=^(^»~fl3)sin»-a.
^8 coulis DE XÉCARIQUE.
On aura ensuite
sinÔcosô = - / sin20^d= -sin'a; 0 ^Jo ^
Vx, = Trsin'a
et, en divisant (4) par (3),
3 b^ — a^ sîn'a
ou
sin' - oc
Si a = G et a = 90^, on trouve
Ainsi, le centre de gravité d'une demi-sphère est situé à une distance du centre égale aux trois huitièmes du rayon, comme on le trouverait par la formule du n^99.
HEUVIÈUE LEÇON. 79
NEUVIÈME LEÇON
ATTRACTION DES œRPS.
Loi de l'attFtctioD. — Attraction d^une couche sphérique. — Attraction de deux sphères. — Formules générales. — Réduction des intégrales générales à une seule. — Propriétés de U fonction Y.
LOI DE l'aTTRÂCTIOIV,
112. Toa5 les corps de la nature s'attirent mutnellenieDt, et Tintensilé de Taitraction pour deux corps est proportionnelle aux masses ou quantités de matière de ces corps et en raison inverse du carré de leur distance.
Pour éclaircir cet énoncé, supposons que deux corps de dimensions et de formes quelconques, ayant chacun une masse égale à Tunité, s'attirent mutuellement, et concevons que cette attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute Tétendue de ces deux corps , en sorte qu'elle soit la même entre deux points matériels a et & de ces deux corps que celle qui aurait lieu entre ces deux points s'ils étaient placés à Tunité de distance Vnn de Tautre. Appelons^ l'attraction totale exercée par l'un de ces deux corps sur l'autre. La loi énoncée plus haut signifie que si deux points matériels ont des masses fx et yJ et sont placés à une distance u l'un de l'autre, l'attraction
exercée par l'un d'eux sur l'autre sera mesurée par ^^ ■
ATTRACTION d'uNB COUCHE SPHÉRIQUE.
113. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphëre^oncentriques dont les rayons soient & et c, et cherchons à déterminer l'attraction exercée par
8o COURS DB MÉCANIQUE.
la couche sur un point matériel K extérieur à cette couche.
Fig. 5a.
Soit M un point matériel de la couche; nommons |x' sa masse et r, 9f ^ ses coordonnées polaires, en prenant le point O pour pôle, pour axe polaire la droite Oo: qui passe par le point K, et enfin pour pian fixe le plan xOy. Posons en outre
0K = «, MK=:«.
En nommant d\ Télément de volume de la couche, on a (107)
et par conséquent, si p est la densité de la substance dont la couche est formée, on a
L'attraction exercée par le point matériel M sur le point K aura pour expression (112)
c'est-â<dirc
/fip r* sin ^drdùd'^
114. Les attractions exercées par tous les points de la couche sphérique sur le point K sont des forces appliquées en ce point, et dont la résultante doit être dirigée suivant KO, car tout est symétrique autour de cette droite. Il suffira donc d^évaluer la somme des composantes partielles dirigées suivant KO. Or, la composante suivant KO de l'attraction muUielle des points M et. K est
cosMRO =
/jifi' fl ' 4- «' — r*
2 au
BsvTffeifE Lzçoir. Si
ou, en remplaçant fx' par sa valeur,
flS -1- ||« /-J
/upr^slnBdrdùd^ ; :
mais on a
tt»=:«*-+-r» — atfrcosO,
d'où
udu=zarsinQdù,
Donc y expression ci-dessus peut s'écrire
/ft^rdrdud'^ / ifi^—r^X 7,a} \ «* /
115. Pour intégrer cette expression, on remarquera d*abord que ^ n'y entre que par sa différentielle, car u et r sont indépendants de ^. En intégrant par rapport à ^^ depuis zéro jnsqu^à air, on aura donc
Intégrant par rapport à u, on aura d'abord pour l'intégrale indéfinie
