Maintenant si le point K est situé entre le centre

Fig. 53. et la couche spfaérique, comme

la distance

Il = ^r^ 4- fl' — aarcosO

doit être positive et que les limites de B sont zéro et tt, les

limitei correspondantes de u seront r — a et r -H a* mais

Il résulte de là qu'en multipliant par ^^\^ — et inté- Snaui. — jfAr., I. 6

8a COUBA DE MtCAiriQUB*

grant par rapport à r, on aura une constante pour Tintegrale indéfinie, et par suite zéro pour l'intégrale définie. On a donc ce théorème :

La résultante des attractions de tous les points maté' riels d^une couche sphérique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle,

\ 17. En second lieu, si le point K est situé à Textérieur de la couche, après avoir intégré par rapport à <p, fl faudra intégrer par rapport àudeii = a — r k u^= a-h r, valeurs extrêmes de u : or

par suite, en intégrant entre les limites 6 et c Texpres- SI on ^ ^"^ ar, on aura

On peut simplifier ce résultat, en observant que si m est la masse de la couche sphérique, p étant sa densité

et ^ t: (c' — i') son volume, on a

d'où résulte que l'attraction exercée sur le point est

De là ce théorème :

L^attraction exercée par une couche sphérique homo^ gène sur un point matériel extérieur à cette couche est égale à celle qu! éprouy^erait ce point si -toute la masse de la couche était réunie à son centre.

' 1 18. Les résultats trouvés (416 et 117) s'étendent au

SEUTlkME X.EÇ02I. 83

cas d*un corps oompose de couches sphériques et conoen- Fig. 54. triques dont la densité varie

de Tune à l'aulre suivant une loi quelconque, mais de telle sorte que cette densité reste constante dans toute rétendue d'une même couche.

En effet, si le point K est dans Tintérieur du corps, la résultante des actions de chaque couche élémentaire étant nulle, l'attraction totale est bien nulle aussi.

En second lieu, si le point est à l'extérieur du corps, chaque couche élémentaire agissant comme si toute sa masse était concentrée en son centre, l'attraction du corps tout entier sur ce même point sera la même que si la masse totale était réunie au centre.

i 19. Si le point K fait partie de la masse attirante, on

concevra celle-ci partagée en deux couches spbériques

Fig. 55 concentriques au moyen d'une

sphère de même centre passant par ce point. L'attraction totale exercée sur le point par la couche extérieure sera nulle et le point sera seulement attiré par la seconde couche, comme si toute la masse de celle-ci était réunie au centre.

120. Quand le rayon intérieur de la couche sphérique est nul, c'est-à-dire dans le cas de la sphère, les résultats précédents subsistent encore. En supposant la sphère ho-

mogene, p est la partie de sa masse qui agit sur le

point considéré et l'attraction a pour valeur- ir^ppa;

ainsi r attraction d^une sphère sur un point intérieur est proportionnelle à la distance du point attiré au centre*