Dans le cas de la sphère X = o, la résultante est
— ? =:= ^Tia, en supposant le point placé sur Taxe des x. (i^ 3
OJSZlkUE LEÇON. Io3
141. Si Fellipsoïde était de révolution autour de Taxe a£, en supposant c = a et 6 ^ a, on aurait X' = o, et des calculs analogues aux précédents donneraient
A C 3M r' u^da
THÉORÈME DE HEWTOIV.
142. On peut démontrer synihétiqucment ce théorème de Newton qa^une couche homogène d^iine épaisseur i/uelconque compnse entre deux sur/aces ellipsoïdales semblables et semblablcment placées ri exerce aucune action sur un point intérieur.
Concevons un cône infiniment étroit ayant son sommet au point attiré G. Il intercepte dans la couche deux portions de volumes 1^, u^ qu'on peut décomposer en tranches ou troncs de cônes par des plans perpendiculaires à Tarête gq\ La masse de la tranche m/i, située à la distance Om = u du point O, est pu du, o étant la section mn \ mais or =r a)u*, en nommant tù la section faite dans le cône à une distance du point O égale à yunité. L'attraction de cette tranche sur le point O est
/pp — ^ ou /^iptidu.
En intégrant par rapport à u depuis u = Op jusqu'à u = O^, p et 0) étant des constantes, on voit que Faction
I04 COUHS DE MÉGÀlflQrE.
de tf est égale à /jwpw (O^ — Op) onfyLptùpq. De mftme, Paetion de if^ est ffiptù p^ q' . Ces deux forces agissent en sens contraires et se détruisent, car p(} = p'fj'y puisque dans deux ellipsoïdes semblables les cordes parallèles à une même direction ont leurs milieux sur un même plan diamétral. Donc les actions exercées sur le point O par les divers éléments de la couche peuvent se décomposer en actions deux à deux égales et contraires; donc elles se détruisent.
143. Ce théorème est vrai pour une couche infiniment mince, et par conséquent pour une couche d^épaisseur finie telle , qu^on puisse la considérer comme composée de couches infiniment minces, comprises entre des surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées , la densité ne variant que d'une couche à une autre.
Si le point O était extérieur, les deux actions exercées par les portions if et i^' seraient encore égales, mais elles s^ ajouteraient,
CAS dVm poiht extérieur, théorème d^ivort.
