En conservant les mêmes notations, on a
A = — I I j cosgdusinBdBd^.
Ici on doit intégrer depuis u = R jusqu'à u = 'R\ R et R désignant les distances du point attiré aux deux points où la droite déterminée par les angles 6 et ({^ rencontre la surface de Tellipsoïde. On a donc
A = r j(K' — R) cosô sÎD Ô rfô r/^, ou bien (128)
Jq^ -f- pi
- cosBsmBdBd'^.
P Il faudrait intégrer cette expression entre les limites qui
OKZli^ME LEÇOIV. Io5
correspondent à R' — R = o, c'est à-dîre pour toutes les directions qui tombent dans Fintérieur du cône circonscrit. Mais on ramène ce cas à celui du point intérieur par le théorème d'Ivory.
145. Concevons deux ellipsoïdes ayant leurs axes a, iy cet a\ h\ c' dirigés suivant les trois mêmes axes rectangulaires. On appelle points correspondants deux points dont les coordonnées sont proportionnelles aux demi-axes auxquels elles sont parallèles, c'est-à-dire que [^tyy *) et (x\ y\ z') étant deux points correspondants, on aura
Si Tun de ces points est sur la surface du premier ellipsoïde, l'autre sera évidemment sur la surface du second.
Supposons, en outre, que les sections principales de ces deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, c'est-à-dire que
Si Von prend sur les deux ellipsoïdes deux points
quelconques m{x^y^ z)^ |x(a, S, y) et leurs correspondants m'[x\y^ z'), /x'(a', 6', y'), les distances [im et (i^m^ sont égales.
En effet, on a
=(:--')'-(rH"-çH'-{"-^-')'--
io6 ou bien
COURS DE MéCAHIQUE.
Mais ce dernier facteur est nul, puisque l'on a
Ji
donc
fiHI
ft'iw',
146. Appelons toujours A^ B^ G' les composantes de Tattraction du premier ellipsoïde sur le point fx. On a, en faisant abstraction du facteur yfjtp,
On a, en regardant x comme seule variable, d'où
tidu =z — (a — x) dx ,
donc si l'on désigne par R et r les valeurs de n qui correspondent aux limites de Finlégrale, c^est-à-dirc aux deux points où la surface de rellipsoïde est rencontrée par une même parallèle à Taxe des x, on aura
^=m^-ih'"-
Considérons maintenant l'attraction que le second ellipsoïde exerce sur le point jix' correspondant de fx, et nommons A', B', C ses composantes, on aura
Hli^-i)''''-
Mais r = fjim, r' = (x'm'; donc (145) r' =^r ', de mêmCi R' :^- R. D'ailleurs, df =jdj, dz' = ''^dz. Donc
OBZlàMB LEÇON. lOJ
OU
oc
On aura de même
ae ' ab
Done V attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur fx est ramenée à l'attraction d'un ellipsoïde homofocal sur le point /*' correspondant.
Ce théorème subsiste quelle que soit la loi d^attraction.
147. Pour faire usage de ce théorème, il faut calculer les valeurs des demi-axes a', b\ c' du second ellipsoïde, connaissant ceux du premier et les coordonnées a, 6, y du point fx. On a
or
-t--rr— r=i.
doù
Celte équation donne une valeur positive pour a", et nne seule, car a'^ ^=: o rend le premier membre plus grand que l'unité et a'* = oo le rend moindre que l'unité. D'ailleurs ce premier membre décroit d'une manière connue quand a' varie depnis zéro jusqu'à l'iniini : il ne peut donc passer qu'une seule fois par la valeur de i . Le demi-axe a' étant déterminé, on aura les deux autres par les équations
X08 COURS DE MéCAIflQUR.
DYNAMIQUE
