EFFET D^UNE FORCE CONSTANTE SUR UN POINT MATÉRIEL

166. Supposons maintenant qu'une force P, d'intenûlé constante, agisse d'une manière continue sur un mobile. Il résulte de ce qui précède qu'elle devra augmenter on diminuer sa vitesse de quantités égales en temps égaux. En effet, soit u la variation de vitesse produite par cette force dans un premier intervalle de temps 9, i' 4- r« sera au bout de ce temps la vitesse du mobile. Mais au bout d'un second intervalle de temps égal à 9, sa vitesse devra ^tre •/-Hiz-f-M ou u-^ 2u\ par la même raison, au bout d'im troisième intervalle de temps 9, sa vitesse est i^ 4- 3 ix, et ainsi de suite. •

Soit a la vitesse que possède le point mobile à l'instant où la force commence à agir sur lui , et soit g la vitesse que la force imprimerait à ce point au bout de l'unité de temps, s'il était d'abord en repos. Alors le mobile, au bout du temps r, aura la vitesse a-h gt ou a — gt, suivant que la force constante agira dans le sens de la vitesse

lao couns de mécanique.

initiale a ou en sens contraire. Le mouvement du point est donc uniformément varié (162).

COMPÀRAISOIf DES FORCES, D APRÈS LES MOUVEMENTS QU^ELLES IMPRIMENT AU MÊME POINT MATÉRIEL.

167. Nous n'avons considéré qu'une seule force agissant sur le point M. Supposons maintenant que ce mobile, déjà animé de la vitesse v^ vienne au bout du temps t à être sollicité dans le même sens pendant le temps 0, par deux forces P et P' qui, en agissant séparément, feraient parcourir à ce point, pris à Fétat de repos, des espaces Ç et \' pendant le temps 9 et lui imprimeraient des vitesses

dl , d^

d^ (IB

Imaginons que de la position M partent a la fois deux points matériels animés tous deux de la vitesse t^, mais l'un étant soumis simplement à Faction de la force P et Tautre à l'action simultanée des forces P et P'. Le premier parcourra dans le temps Q l'espace i^9 -h Ç, et, d'après le principe (164), le second aura sur le premier une avance de |'. De là il suit que f^0 -f- Ç -f- Ç' est l'espace parcouru par le point matériel M qui , déjà animé de la vitesse f/, est sollicité pendant le temps 0 par les deux forces P et P^ Donc au bout de ce temps sa vitesse sera

di^ rfÇ'

c-h-— -T---T- ou p + tf-f-a.

aO tiO

Ainsi le changement de vitesse produit sur un mobile par l'action simultanée de deux forces est indépendant de la vitesse acquise et est égal à la somme des vitesses qu aurait eues séparément le mobile si, pris à l'état de repos, il avait été tour à tour soumis à faction de cha^ cune des forces P ef P'.

On verrait de même que si les forces P et P^ agissaient

rHEIZlÈME LEÇOlf. 121

en sens contraire, le changemeni de vitesse dans le temps 6 serait égal à u — u\

i68. Cela posé, il est facile de démontrer que deux forces d'intensités constantes sont entre elles comme les changements de vitesses qù! elles peui^ent produire séparément pendant le même temps sur un même point matérieL

En effet, supposons qu'une force /agisse pendant un temps 6 sur un mobile dont la vitesse acquise est f/. Elle fera subir à ce mobile un accroissement de vitesse h. Soit V la variation de vitesse qu'éprouverait le point par l'action séparée d'une autre forcée 5 sifeif agissent simultanément, le changement de vitesse sera k-i-V (167). Donc si y =y^ on aura k -{- k' = 2k, Ainsi une force a/* produira un changement de vitesse égal à ak'^de même, une force 3/* produira un changement de vitesse égal à 3^, et en général une force /i/* produira un changement de vitesse égal à nk.

Soient maintenant P et P' deux forces d'intensité constante, et soient u et u^ les changements de vitesse qu'elles produisent sur un même mobile pendant un temps 0. Je dis qu'on aura

En effet, si les forces P et P' sont entre elles dans un rapport commensurable, soit /leur commune mesure et soit

n et n' étant deux nombres entiers, de sorte que l'on ait

Si k est le changement de vitesse que produirait la force / dans les circonstances déjà spécifiées, on aura

uz=.nk^ u'zrzn'kj

d'où

u n donc