Pour déduire de là Tespace en fonction du temps
« dx
remplaçons 9 par —9 nous aurons
dx = k
EL -£î
i&ais le numérateur de cette fraction est la diflerenlielle du dénominateur, à un facteur constant près. Donc on tura en^intégrant
/et frt\
Inconstante étant déterminée par la condition que Ton *it i la fois x = o et f = o.
l4a COilKS DE MECANIQUE.
199. Enfin on peut trouver une relation entre Feiptoe parcouru et la vitesse. On a (n^ 186)
çdv :=i tfdx.
Ici la force accélératrice 9 est égale kg — ~^. On a donc
pdp
OU
dx=z — X
En intégrant et déterminant la constante par la condi* tiou que Ton ait a: =: o, lorsque i^ = o, on a
ag A^ — p*
200. Quand on suppose t très-grand, e petit, et, en n^lîgeant ce terme^ on a
^ est très-
Ainsi, au bout d'un temps très-long, le mouvement devient sensiblement uniforme, et la force accélératrice
(^z=z g — ^ ^5^ sensiblement nulle, car elle devient nulle
pour u=zk»Cc fait se conçoit sans peine, car le poids dn corps est une force constante, et la résistance de Tair une force variable qui augmente avec la vitesse du mobile el qui finit par faire, à très-peu près, équilibre au poids da corps. Mais on n'a 1^ = A: que pour r = 00 , en sorte que le mouvement tend à devenir uniforme^ mais ne Test jamais rigoureusement.
De la valeur
QUIHZlkMB LEÇOH. l43
on conclut que le carré de la vitesse du mouTement uniforme vers lequel tend le mouvement varié est proportionnel à la densité du corps et au rayon de la sphère, et en raison inverse de la densité du milieu résistant. Ce fait est confirmé par Texpérience.
Le temps au bout duquel le mouvement devient sensiblement uniforme est d'autant plus grand que la valeur de k est plus grande. Car, pour que Ton ait
il faut que Ton ait
CAS PÂRTrCULIER OU LA BÂSISTAHCB DV VILltSIS
DEVIENT HULLE.
201. Nous avons vu que la résistance du milieu avait pour expression
U snit de U qu*en faisant A = oo , on a R = o. Cetlc hypothèse doit donc faire retrouver les lois de la chute des corps pesants dans le vide. Mais comme les formules ae présentent alors sous une forme indéterminée, nous
allons remplacer dans ces équations e^ et e ^ par leur développement en séries convergentes. Or on a
l44 COURS DE XéCÀNIQUB.
d'où Ton déduit
Substituant ce résultat dans Téquation
et faisant les réductions, on trouve pour A = oo
Maintenant Téquation
* = îli\e"^-He"'^j (198)
devient par la substitution
Si Ton développe 1 ( H- ^-jj -4- . . . | en série, on aara
a étant la somme des termes qui s'évanouissent pour Ar = 00 • Donc à cette limite on a
SnZIEUB LBÇOK. t45
SEIZIÈME LEÇON
