DE LA DISTANCE
218. Considérons un point matériel placé d'abord atv2 p. / point A où sa vitesse est nall^
et attiré par un centre fixeO, en raison directe de sa distance A ce dernier point, que nous prers' drons pour origine. Comme 1^ force attractive tend k diminua' Tabscisse variable x du point mobile, on a Téquation
n* étant la mesure de rattraciion exercée sur Tunité d^ masse du corps à Tunité de distance. Multiplions de [>air*t et d'autre par adxy nous aurons
!X(ixd^.r
dt'
= — an^xdx.
d'où, en intégrant,
dx' di^
dr
la constante étant déterminée par la condition que — <^ 1^ soit nulle pour x = a.
DIX-flBFTlèMB LEÇOll. tSj
Omime la vitesse du mobile est iiégali?e quand il va dans le sens ÂO, on a
ndtr=^
Int^rant et déterminant la constante par la condition cpiel'on ait à la fois e = o, J? = a^ ce qui la rend nulle,
nt = arc cos — a
OU
(3) jr = a cos/zr;
«tensoite
Si9. Lorsque le point mobile arrive en O, ou a
d'où
ar = o et nt= ->
tr
Parvenu à ce point, sa vitesse est égale à — na. Le mobile ^^passe donc le point O et continue sa route en vertu de sa altesse acquise. Pour déterminer le point A' où il s'arrô-
mm
^^a, faisons i^ =: o, il en résulte nt = t:, d'où t = - et
P*p suite X = — a- 'Ainsi OA' = OA.
Arrivé en A' où il n'a plus de vitesse, le mobile se ^^uve placé par rapport au point O, comme il l'était ^<^ A. Il sera donc attiré avec une vitesse croissante de A' J^isqu'au point O où sa vitesse sera noy puis continuera ^^ route en vertu de sa vitesse acquise jusqu'en A, pour ^Tenir de nouveau en O, et ainsi de suite.
Ainsi le mobile fera une infinité d'oscillations toutes
l58 COURS DE MÉCANIQUE.
égales entre elles et de même durée, de A en A' et de A' en A.
220. On peut, comme dans le cas précédent (215), représenter par une construction géométrique la relation qui existe entre Tespace et le temps. Sur AA' (fig^ 74? n^ 218) comme diamètre décrivons une demi-circonférence. Soit OM = or, et menons MN perpendiculaire & AA'. Le triangle rectangle ONM donne
AN xz=za ces — :
nais
X = a cos/zf,
AN=/y/îf.
Ainsi — représentera le temps que le mobile emploie ft aller du point M au point A.
MOUVEMENT D^UN POINT REPOUSSÉ PAR UN CENTRE FIXE EN RAISON DIRECTE DE LA DISTANCE.
221. Examinons maintenant le cas d*un point matériel repoussé par un centre fixe O, en raison directe de la distance.
Supposons qu'à Torigine du temps le point matériel
Fig. 75. placé à une distance OA=:a
o A X du centre fixe soit animé
d'une vitesse dirigée vers le point O et représentée par
— nh,
La force accélératrice, positive pUisque la répulsion tend à augmenter Tabscisse du point M, étant représentée par 71* or, on aura
{\^ • zz: /ï'x.
d'où Ton déduit, en multipliant par ^dx et int^ant^
DnC-SEPTl&HE LEÇON. xSg
duc
Mais, pour « = o, on a — ou j' = — nb^ x = a; donc d^où, en éliminant la constante,
On en déduit
on
Oéi prend le signe — , parce que la vitesse est d'abord n^ative. En inférant de nouveau et ayant ^ard aux circonstances initiales, on aura
1 r = — iJ/
OU
On tire facilement de cette équation
(4) ax = (a -f- b)e-^''\- (a — ^)c«'.
222. Examinons maintenant quelques cas particuliers. La formule
montre que la vitesse ne peut jamais être nulle, si Ton a b* }> A*. Dans ce cas le mobile atteindra Torigine lorsqu'on aura
valeur positive, puisqu'on a ^b^ — a' <^ a -f- />. Sa vitesse
étant alors — n yjb^ — a', le mobile dépassera le point O, et il est clair qu'il se mouvra indéfiniment vers la gauche.
l62 COrnS de MÊCÀNIQtE.
Les quantités p^ q^ r sont nommées les composâmes fie la vitesse du mobile sur ces axes. On démontre facilement que ces formules conviennent à tous les cas, pourvu que l'on considère /?, </, r comme positives ou négatives suivant que les projections du point M se meuvent dans le sens positif de Taxe ou en sens contraire.
324. Lorsqu*on donnera le mouvement du point M, c'est-à-dire les valeurs de i^, a, (3, y, les équations
«'cosar:^/;, (^cosp = <7, vcosy-^r
feront connaître les composantes^, ^, r. Réciproquement ces composantes étant connues, on en déduira v^ a^ |3, y par les formules
(3) C0Sar=— 5 COsB=:-> COS7 =- - •
Si l'on mène par le point O une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse du mobile, on voit que les composantes de cette vitesse seront représentées en grandeur et en direction par les arêtes d'un parallélipipède dont la vitesse du mobile serait la diagonale.
225. Soient A, b^ c les coordonnées du point A où se trouve le mobile à l'origine des temps, et soient x, j^ z celles du point M où il se trouve au bout du temps r, le mouvement sera complètement représenté par les trois équations
l j: = a -hpt,
( zz=c -h rt.
En effet, on a
OM r^OA'^-A'M' Mais
OM' =x, OA' = «, A' M' = pt ;
DIX-HUITlkME LEÇON. l63
On démontrerait de la même manière les deux autres formules.
On aurait des formules semblables en prenant des axes obliques.
226. On a vu que la projection sur un axe quelconque d'un point qui se meut d'un mouvement uniforme et rectilignc se meut elle-même d'un mouvement uniforme. Réciproquement, si les projections d'un point M sur trois axes Ox, Oy^ Oz se meuvent avec des ^vitesses constantes p^ q^ r^ le moui^ement du point M sera lui" même rectiligne et uniforme. En effet, soit A le point où se trouve le mobile quand f = o; les projections de la droite AM sur les axes étant pt^ gi^ rty on a
de sorte que la distance AM est proportionnelle au temps. En outre, si Ton appelle a, j3, y les angles que la droite AM fait avec les axes, on a
pe qt ri
co5.=.— , cosp = — , COSï=^
ou.
COSa = t
v/yy' -f- 7' -f- r»
{^) \ cosp
yjp^ -h 7^ -H r'
cosy = —
*^ïic la droite AM conserve une direction constante-, et ^^Oime sa longueur varie proportionnellement au temps, ^ (mouvement est bien rectiligne et uniforme.
COUK8 DB MÉCANIQUE.
