DE LA VITESSE DANS LE MOUVEMENT CURVILIGNE
227. Soit M(jr, ^^ z) un point qui décrit dans Tes- Fig. 77. pace une ligne courbe CMD.
Ce point doit être constamment sollicité par une force dont la direction change a chaque instant. Si au bout /' du temps t cette force cessait
d^agir, le mobile prendrait , suivant une certaine droite MT, un mouvement uni- (orme, et c^est la vitesse de ce mouvement uniforme que nous sommes convenus d*appeler la vitesse du mobile au point M (155).
La projection M' du point M sur Taxe Ox se meut d*un mouvement quelconque, qui deviendrait aussi uniforme si la force qui sollicite le point M cessait d^agir.
228. Le mouvement du point M est déterminé par trois équations
au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile en fonction du temps. Pour le démontrer, nousdistingue- I ons deux cas.
En premier lieu, si la force P qui sollicite le mobile est ronsiantc d^intensité et de direction, la projection deMK sur Taxe des x sera
vMcosa H Ar*cos>,
a désignant 1 angle que la direction de la vitesse fait avec Taxe des x, et / Tangle que la force P fait avec ce même a\e. On aura donc
Sx I P
~^-- rrrPCOSaH — IfCOSX,
At 2 m '
DIX-HUITIEME LEÇOlff. l65
et, en passant à la l'imite,
(i) ---=f»cosa.
dt
Si les axes étaient obliques, on aurait, en décomposant la vitesse \f en trois autres, p, q^ r, et la force P en trois forces X, Y, Z, suivant les axes,
» X , ,, ^ dx Ax=zpAt-i A^S clou --=/>.
Ainsi les composantes de la vitesse suivant les axes s'obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et Ton aura, dans le cas des axes rectangulaires,
/ X 'i^ dr ^ dz
(a) =rt»C0Sa, zirPCOsB, --rm»C0S7,
^ ' de ' (U ^ dt '*
d'où
Ion
dédi
Liira
d'où
dj'
-^dy
» -h dz^
ds^
dt^'
ds dt'
en désignant par s la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d'un point 6xe. Cette formule con- Tiendrait encore si les axes étaient obliques.
29D. Quand la force qui agit sur le mobile est variable, on a, en désignant par fx un infiniment petit,
dr At^ fd^x \
(4) Ax=-A.-H-^-H^).
La molécule va de M en K, comme un point qui aurait au bout du temps t la vitesse v^ suivant la tangente MT et qui serait sollicité par une force d^intensitéetde direC' tien constante, dont les composantes seraient
di^ ' ilr^ ^ at^ '^
l66 COURS DE MÉCANIQUE.
Celle force diffère infîniment peu de P, si Af est trèspetil^ car si i on imagine une autre molécule soumise â une force constante P'et arrivant en K, on a
A/' F a m On déduit de (4)
lim — ou — r^ c» cosa .
dt itt
Les formules sont donc les mêmes que dans le cas où la force est constante.
Dans tous les cas on a
dx
dt dx ds cosa =: — =-—:—-, V dt dt
OU
,^, dx „ ''j ^^
(5) cosa rrr -— • COSB r:^ --♦ COS7 =r ---:
ds ^ ds ds
donc la vitesse est dirigée suivant la tangente MT.
230. Ces formules peuvent encore être obtenues pur la méthode des iniiuimcnt petits. Pendant le temps întiniment petit dt^ le mobile parcourt sur sa trajectoire un espace infiniment petit ds. On peut considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme pendant le tempt dt^ puisque la vitesse ne varie qu* in fi ni meut peu en grandeur et en direction. On aura donc
ds = vdtj d'où «' - - -7- •
dt
D'ailleurs la direction de la vitesse est celle de Télément ds ou de la tangente au point M.
AES FORCES QUI PRODUISEM^ Vf* MOUVEMENT DONHé.
231. Considérons maintenant la force qui produit le mouvement d'un point matériel dont la masse est m.
Soit V la vit(*sse du mobile au bout du temps r, lorsqu'il
DIX*HUITlfeME LEÇOK. l6y
arrÎTe au point M de la trajectoire AMB. Supposons que Fig. 78. Ja force motrice qui sollicite
continuellement ce mobile conserve une intensité constante P et une direction constante parallèle à MP, pendant un certain intervalle de temps d, qui succède au temps t. Si le point M était en repos au commencement du temps 6^ la force constante P lui ferait parcourir dans le temps B un espace MI égal à
— ç6*, (f étant Taccélération due a la force P ou la vitesse
que cette force communiquerait à la masse m après Tunité de temps. D'un autre côté, si la force P cessait tout à coup â*agir. au bout du temps t, le mobile suivrait la direction de la tangente MT et parcourrait sur cette direction l'espace MH =-:: m9, pendant le temps 6. avec la vitesse constante ^. Maintenant concevons deux points matériels arrivant en même temps au point M et animés tous deux de la vitesse i^ suivant la tangente MT, Tun d'eux étant sollicité en outre , pendant le temps d, par la force constante P. Il résulte du principe général sur les mouvements relatifs, dont nous avons déjà fait usage, que ce point se déplacera par rappiort à Tautrc, comme si les deux points eussent d'abord été eu repos. Le point mobile animé de la vitesse (^ en M et sollicité par la force constante P arrivera donc, au bout du temps 6, en un point K qu*on déterminera en menant par le point H la droite HK parallèle et égale à MI.
La courbe MK décrite ainsi est une parabole^ car on a
d'où résulte
