IK»= — MI

l68 C0UM8 UE MÉCAniQDB.

équation d'une parabole, si l'on considère MI cl IR comme les coordonnées du point M par rapport aux axes MP et MT.

232. Pendant que le mobile parcourt Tare de parabole MK, sa projection sur Ox parcourt Tespace M'K'égal à M' H' -H H'K', c'est-à-dire à la somme des projections des droites MH et HK. Or on a

M' H' = MH cosa = PÔ cosa = —0,

at

H' K' = HK cos). m - «. 0> cosX =: - - ô» co$\,

en appelant X l'angle que la direction constante de la force P fait avec Taxe des x. On a donc

ae m 2.

D'un auire côté, l'espace M'K' étant l'accroissement que prend la variable x, qui est une certaine fonction de t^ quand t prend raccroîssement d, on a, par la formule de ïaylor,

|x désignant une quantité qui tend vers zérO) avec 0. En égalant ces deux valeurs de M'K', supprimant le

terme commun -^0» et divisant ensuite par le facteur

ô' commun — > on aura

Si 6 diminue jusqu'à zéro, [l tend vers zéro; mais les autres quantités indépendantes de B ne changent pas. On aura donc, en passant à la limite,

= — cos A,

DIX-Ht)ITlkMS LEÇON.

m —- — r= P cos^.

a jr

Ainsi y dans le cas où la force est constante, m — r— a une

valeur constante égale à P cosX, c'est-à-dire à la projection de la force sur l'aice des .r.

233. Quand Tintensiié et la direction de la force motrice varient à chaque instant, on a encore la formule

di

- 1=: P cos)i.

en désignant par P Tiniensité de cette force à Tinstant considéré, et par X Pangle qu'elle fait à cet instant avec Taxe des x.

En effet, pendant le temps B qui succède au temps t^ le mobile parcourt une portion MK de sa trajectoire (qui n'est plus une parabole), dont la projection sur Taxe des X est

dt \ fit^ * / 2

Désignons par P' la plus grande intensité de la force motrice qui sollicite le point M pendant le temps 9 et par // le pluspeiit angle que fait la direction variable de celte force avec Taxe des x. Si le mobile arrivé en M avec la vitesse i^ était sollicité par une force constante P' et faisant toujours avec Taxe des x l'angle //, ce mobile serait transporté, après le temps 0, en un point L au delà du plan KK' parallèle au plan zOj mené parle point K. En d'autres termes, Tespace M'L' parcouru par sa projection sur l'axe Ox serait plus grand que Tespace M'K'

1^0 COURS DE MëCAVIQUB.

parcouru par la projection du mobile qui décrit réeUft* ment la courbe MK. On a donc

ou

dx ^ Id^x \0» ^rir^ P' ^, ô»

dt \ €//' ^ ] 1 dt m 2

Si la force motrice agissait sur le mobile, animé au point M de la vitesse y^ avec sa plus faible intensité P'^ et sous une inclinaison constante V égale au plus grand angle qu'elle fasse pendant le temps 6 avec l'axe des x, le mobile m arriverait en un point N situé en deçà du plan KK', eu sorte que l'espace M'N' décrit par sa projection sur Ox serait moindre que M'R'. On aurait donc

ou

dx dî

Id^x \ 0» dx ^ V" ,„ ^

Des deux inégalités précédentes on déduit

— cos V > "TTT -^ f* > — ^®'^ »

m al* m

Qt en passant à la limite

dt^ m

OU, en posant P cosX = X,

Le même raisonnement s^applique aux autres axes : oara aura donc, en désignant par Y et Z les composantes d^ la force P suivant les axes des j^ et des z.

DIX-BUITlkME LEÇON. I^I

Ces formules montrent que les projections du point mobile sur chaque aice se meuvent comme des points matériels de même masse sollicités uniquement par la com|>osante de la force motrice suivant cet axe. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.

234. Si X, Y, Z, au lieu de représenter les composantes de la force motrice, représeniaienl celles de la force accélératrice, on aurait plus simplement

, ^ ^— A. f — 7— — I • — : — — £*• dt* ' dO ' dr

â35. Si Ton connaît la courbe décrite par un mobile et la loi de son mouvement, c'est-à-dire si les coordonnées x^ jy z sont données en fonction du temps par les trois équations

une première différcntiation feia connaître les composantes de la vitesse parailèlci aux axes

dx dy dz ai dt di

et une seconde différcntiation fera connaître les composantes de la force accélératrice, savoir ;

d^x d\r d^z T/r»' IF' dY»"'

et, par suite, les composantes do la force motrice.

236. Ordinaircm<*nt on doit résoudre le problème inverse, c'est-à-dire (|ue la force motrice est donnée à chaque instant de grandeur et de direction. Alors X, Y, Z sont des fonctions connues de £, et Ton a, pour connaître complètement le mouvement du mobile, à intégrer trois équations simultanées.

COURS DB MÊCARIQDB.

DIX-NEUVIÈME LEÇON