IK^ = MI
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équation d'une parabole, si Ton considère MI et IK comme les coordonnées du point M par rapport aux axes MP et MT.
232. Pendant que le mobile parcourt l'arc de parabole MK, sa projection sur Oj: parcourt l'espace M'K' égal à M'H'-f- H'K', c'est-à-dire à la somme des projections des dioiles MH et HK. Or on a
dx M' H' =2= MH cos a = P Ô cos a = — - G .
dt *
H'K.' = HR cos> =r i <pG2 cos> = - — Ô' cos)i,
en appelant X Tangle que la direction constante de la force P fait avec Taxe des x. On a donc
M'ie==^0-4--cos).^.
dt m 2
D'un autre côté l'espace M'K' étant l'accroissement qutf prend la variable x qui est une certaine fonction de t quand t prend l'accroissement 0, on a, par la formule d Taylor,
^JL désignant une quantité qui tend vers zéro, avec 9,
En égalant ces deux valeurs de M' K', supprimant 1 ^
duC
terme commun —0, et divisant ensuite par le facteiB ^
G* commun - 5 on aura
-— - -h a = — CCS À.
dt^ ^ m
Si 0 diminue jusqu'à zéro, (jl tend vers o, mais les autr^ quantités indépendantes de 0 ne changent pas. On aurr^ donc, en passant à la limite,
d'x P —-7- = — cas A , di' m '
ou
DIX-HUITIEME LE<;ON
m —. — = P cos A.
eit'
Ainsi, dans le cas où la force est constante, ui —— a une
valeur constante égale à P cos X, c'cst-à-tlire à la projeclion de la force sur Taxe des x.
233. Quand l'intensité et la direction de la force motrice varient à chaque instant, on a encore la formule
m —7— = P cos >. , dt*
en désignant par P Tintensité de cette force à Tiustant considéré et par X Fangle qu elle fait à cet instant avec l'axe des x.
En effet, pendant le temps B qui succède au temps ^, le mobile parcourt une portion MK de sa trajectoire (qui n'est plus une parabole), dont la projection sur Taxe des X est
dt \ dfi ^ 2
Désignons par P' la plus grande intensité de la force
motrice qui sollicite la molécule pendant le temps 0 et par X' le plus petit angle que fait la direction variable de cette force avec Taxe des x.
Si la molécule m arrivée en M avec la vitesse i^ était sollicitée par une forjce conj siante P et faisant toujours avec Taxe des x l'angle X', cettie ïûolécule serait transportée, après le temps 0, en un point 1^ îiudelà du plan RK' parallèle au plan zOj^ mené par 1^ point K. En d'autres termes, Tespace M' L' parcouru P^rsa projection sur l'axe Ox serait plus grand que l'es-
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pace M'K' parcouru par la projection du mobile qui décrit réellement la courbe MK. On a donc
ou
(a) -r ® -+- ( -JT -h f* ) - < 3- ô H- — ces V -
Si. la force motrice agissait sur le mobile, animé au point M'de la vitesse 1^, avec sa plus faible intensité P" et sous une inclinaison constante X^' égale au plus grand angle qu elle fasse pendant le temps d avec l'axe des x^ la molécule m arriverait en un point N situé en deçà du plan KK', en sorte que l'espace M'N' décrit par sa projection sur Ox serait moindre que M'K'. On aurait donc
^ ' dt \ d(* ^ j 1 ^ di m 2
Des deux inégalités précédentes on déduit P' d' X P"
et en passant à la limite
{A\ ——- =: — ces A,
^^' df m ^
OU* en posant Pcos À = X,
Le même raisonnement s\ipplique aux autres axes : on ra donc
Co$ formules monlixnit que les projections du point
DIX-HUITIÈME LEÇON. 169
mobile sur chaque axe se meuvent comme des points matériels de même masse sollicités uniquement par la composante de la force motrice suivant cet axe. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.
234. Si X, Y, Z, au lieu de représenter les composantes de la force motrice, représentaient celles de la force accélératrice, on aurait plus simplement
"SF""-^' "5F""*' IF^^'
235. Si Ton connaît la courbe décrite par un mobile et la loi de son mouvement, c'est-à-dire si les coordonnées JT, y, z sont données en fonction du temps par les t(;ois équations ^
une première différentiation fera connaître les composantes de la vitesse parallèles aux axes
dt^' dt^ dt '
et une seconde diiférentiation fera connaître les composantes de la force accélératrice, savoir :
d"^ X d^y d^z rfF' 1Ï^' 'dF'
61) par suite^ les composantes de la force motrice.
236. Ordinairement on doit résoudre le problème inverse, c'est-à-dire que la force motrice est donnée à chaque
Postant de grandeur et do direction. Alors X, Y, Z sont des fonctions connues de /, et Ton a, pour connaître complètement le mouvement du mobile, à intégrer trois éqUl«^; ^ons simultanées.
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