Considérons en particulier le cas de trois forces
Fig. 6. X, Y, Z, représentées par les
trois côtés contîgus AB, AC, AD du parallélipipède ABCDG.
Il résulte de la construction pré- — - cédente que la résultante R de ces trois forces est représentée par la diagonale AG de ce pa-
rallélipipède.
16. Réciproquement^ ou peut toujours décomposer une force R, dirigée suivant AG, et appliquée au point A, en trois autres dirigées suivant trois droites quelconques Ax, Aj', A 5 partant du point A et non situées dans un môme plan ; car si Fou mène par le point G trois plans parallèles aux plans xy\ xz^jz^ ou formera un parallélipi])èdc et AG = R sera la résultante de trois forces X, Y, Z, représentées par les arêtes AB, AC, AD.
PREMIERE LEÇON
AELATIOIÎS ENTRE UKE FORCE ET SES COMPOSANTES SUIVANT TROIS AXES RECTANGULAIRES.
17. Dans le cas où les composantes sont perpendiculaires entre elles, les lignes AB, AC, AD sont les projections orthogonales de AG sur les trois axes Ax^ Ay^ Az\ donc si Ton désigne par a, &, c les angles que la résultante fait avec les axes, on aura
(i) X = Rcosa, Y=Rcos^, Z=rRco8c.
Ces relations font connaître immédiatement les composantes X, Y, Z, quand B, a, &, c sont connus. Si, au contraire, les forces X, Y, Z sont données, on pourra en déduire B, a, &, c. En effet, en élevant au carré les équations (i) et les ajoutant, on aura
r^=x«-hy»-#-zs
à cause de
cos*a -f- ces- b 4- cos'c = i .
Il en résulte
et, par suite,
ces a =
(3) /cos^ =
cosc =
v/X'-f-Y»-hZ'
18. Les formules (i) sont générales, pourvu que, regardant comme positivées les forces qui tirent le point A dans le sens des coordonnées positives, et par suite comme négatwes celles qui tirent dans le sens contraire, on prenne pour «, i, c les angles que fait la direction de la résultante avec les parties positives des axes Ar, A/, Az.
Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner, par exemple,
Fîff. 7.
le cas où X et Y étant positives, Z serait négative. On voit, en construisant le parallélipipède Â6CD, que la résultante R fait avec A a: et A j^ des angles aigus et avec A 2 un angle obtus \ on a donc
et il vient
COSfl]>0, cos^^o, cosc<^o,
X = R cosa , Y = R cos b ,
et
— Z = R cos (tt — c).
Mais cette dernière égalité revient à
Z = R cosc.
Ainsi les formules (i) sont encore applicables dans ce
cas.
DEUXIEME LECOV.
SUITE DE LA œMPOSITION DES FORCES ENCOURANTES.
Cileal de là résultante d*un nombre quelconque de forces appliquées en un même point. — Conditions d'équilibre de plusieurs forces concourantes. — Équilibre d'un point assujetti à demeurer sur une surface, — sur une courbe.
CALCUL DE LÀ RÉSULTANTE d'uN NOMBRE QUELCONQUE DE FORGES APPLIQUÉES EN UN MÊME POINT.
19. On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d un nombre quelconque de forces appliquées en ua même point A.
En effet, menons par ce point trois axes rectangulaires quelconques Ao:, Aj, Az, Soient a, jB, y, a', P', y'v • • 5 les angles que les directions des forces P, P', P'', . . . font avec les axes Ax, A/, Az*
Si Ton décompose la force P en trois autres dirigées suivant les axes, ces composantes seront représentées, quant à la grandeur et au signe, par
Pcosa, Pcosp, PCOS7.
Des expressions analogues représenteront les composantes des forces P', P'', En désignant par X, Y, Z les résultantes des forces dirigées suivant les axes, on aura
/ X= Pcosa-hP'cosa'-f P"cosa'H-.. . , (0 I Y=:Pcosp-HP'cosp'-f.P"cosp''4-...,
( Z = P COS7 -h P' C0S7' -♦- P" C0S7"
La question est donc ramenée à la composition de trois forces appliquées à angle droit en un même point. En appelant R la grandeur de la résultante, et n, £, c les
lO COURS DE MÉCANIQUE.
angles qu'elle fait avec les axes, ou aura (17)
cosa = — 1 coso = — > cosc = — • R R R
20. L'intensité de la résultante ne dépend pas du choix des axes ou des angles a, P, y ^ a', |3', 7', . . . : il doit donc être possible de Texprîmer Indépendamment de ces quantités.
En effet, élevons au carré les équations (i) et ajoutons-les. En observant que l'on a
X>-|-Y'-hZ»=R% cos'a -h ces* p + cos'7 = I , cos'a'4- cgs'P'H- ces' 7'= i,
il viendra
