FORCE CENTRIFUGE
251. Supposons en premier lieu qu'un point M (fiS' ^4; P« 178), qui n'est actuellement sollicité par aucune force et qui ne se meut qu'en vertu de sa vitesse acquise, soit assujetti à demeurer sur la courbe AMB. Son mouvement doit être celui d'un point libre sollicité par une certaine force N qui représente là résistance de la courbe, action égale et contraire à celle qu'exerce le mobile sur la courbe. En supposant qu'il n'y ait pas de frottement, cette résistance est normale à la courbe, et par conséquent "elle n'a pas de composante tangentielle. Donc on a
/W— = 0, dou Pzrrfl,
a étant la vitesse initiale. Ainsi la vitesse est constante,
et comme de l'équation i^ ou — = « on déduit 5 = af ,
le mobile parcourt sur la trajectoire des espaces égaux en temps égaux. La force normale N doit alors être dirigée suivant le rayon de courbure MK, et l'on a
La pressioii exercée par le mobile M sur la courbe ou
VINGTIÈME LEÇOlf. l8t
sur le lien qui Toblige à parcourir cette courbe est égale et contraire à la résistance N de la courbe et par consé-
mv*
quent son expression est — • Cette force, égale et contraire à la force centripète, est ce qu'on appelle la force centrifuge,
252. Supposons en second lieu que le point M soit Fig. 85 . sollicité par une certaine force
motrice P. On peut faire abstraction de la courbe, si l'on joint à la force P une certaine force N, normale à la courbe, force égale et contraire à la pression que le point M exerce sur elle. Décomposons la force P en deux auti^es T et Q, la première dirigée suivant la tangente, et la seconde située dans le plan normal de la courbe. Soit F la résultante des deux forces Q et N, situées toutes les deux dans le plan normal. La force F agira suivant le rayon de courbure (251), et Ton aura
La force F, dirigée suivant le rayon osculateur et qui agit à chaque instant pour empêcher le mobile de s'écarter de lî courbe suivant la tangente, est la. force centripète. Due force F', égale et contraire à la force F, qui la détruit à chaque instant, est appelée la force centrifuge. La force N étant égale et contraire à la pression exercée à chaque instant par le mobile sur la courbe, cette pression sobiiendra[ en cherchant la résullantedes deux forces Q ^t F' qui font équilibre à la force N. On aura
F : Q = sinQMN : sinFMN, C6 qui doiine la position de MN.
». Dans le cas général ^ la fercc centrifuge en chaque
l82 COURS DE MÉCANIQUE.
point est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile et en raison inverse du rayon de courbure de la courbe en ce poijit.
Si la force motrice était normale à la courbe, on aurait
T = o , ou m -y =z o;
dt
par suite
{) z=z constante :
le mouvement serait uniforme.
Si la force motrice était dirigée suivant la tangente à la courbe, on aurait Q = o. Alors la force N se cpnfondrâit en grandeur et en direction avec la force centripète F, et la pression exercée sur la courbe par le mobile avec la force centrifuge F'.
MOUVEMENT d'uW POTWT SUR ^IfE SURFACE.
. 254. Supposons que le mobile soit assujetti à rester sur une surface donnée, et soit AMB {fig^ 85, p. i8i) la courbe'qu'il y décrit. On peut faire abstraction de la surface, pourvu que l'on joigne à la force motrice P du mobile, à Vinstant considéré, une force N, nécessairement normale à la surface, égale et contraire à la pression que le mobile exerce sur elle. Décomposons encore la force P en deux autres T et Q, Tune tangente et l'autre normale à la trajectoire AMB. Les deux forces Q et N normales à la trajectoire se coniposent en une seule F dirigée suivant le rayon du cercle osculateur de la trajectoire au point M, et Ton a
dv ^ /wp' „ m--=T, = F;
dt p
on aura aussi
F : Q = sin QMN : sinFMN,
ce qui détermine la position de MF ou du plan osculateu — quand on connaît p', p, Q et F angle QMN.
VINGTIEME LECOfi. l83
On aura encore da-ns ce c^as la pression exercée par le point xnobile sur la surface, eu. cherchant la résultante égale et contraire à N^ de la force Q et d'une force F', égale et contraire à F. .
2o5. Si la force motrice était nulle, on aurait -— ^ = o, d ou p = constante,
et N serait à la fois la mesure de la 'force centripète et de la force centrifuge.
Sila force P était dirigée suivant la tangente à la trajectoire, on aurait
^ mdv ^
La résistance de la surface serait la force centripète. Dans ce cas, MN se confondant avec MF, le plan osculateur PMF contient la normale N à la surface. Alors la courbe qiie décrit le mobile est telle, que tous ses plans oscolatenrs sont normaux à la surface. Cette propriété appartient, comme on sait, à la ligne la plus courte tracée sur )a surface entre deux points. On peut donc dire que dans ce cas la trajectoire est la ligne la plus courte que Ton puisse tracer sur la surface entre deux quelconques de ses points.
AUTRE MAMERE o'oBTEfVIR LES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS.
S. Huyghens trouve à peu près de la manière suivante les coniposantes de la force motrice. Le mobile arrivant au point M de sa trajectoire, au bout du temps, t, décomposons la force motrice P en deux forces T et Q : Tune dirigée suivant la tangente MT, et l'autre perpendiculaire à cette tangente. Dans le temps infiniment petit
