On ttommie tra^^ail total d'une force P pour un
cliemin déterminé AB F intégrale j *T ds, prise entre les
limites qui correspondent aux extrémités de Tare parcouru. Les forces normales à la trajectoire n'ayant aucune influence sur la composante tangentiellc, n'influenl pas sur le travail total.
.^our don^aer un exemple de travail total 5 considérok} un poids V descendant soustraction de la pesanteur, soi librement^ soit en demeurant sur une courbe quelconque ^ oii aura Pds cos ùiit=Pdz^ en appelant dz la projectio^^
de l'arc ds sUt* la verticale. Le travail total sera / iPiÊ^
ou P^) lorque le mobile sera descendu de la hauteur verticale z. Ce travail serait • — Pz si le mobile montait de. la hauteur z»
KSLÀTtON ENTllE LE TRAVAIL ET LA^ÔRCE VIVE.
,^ 267. Si dans l'équation (2) du n® 260 on remplace . ' lLdx-+'Ydy'\-Zdz par Tds^ on aura
(i) dm.i>^ = :iTds^
d'où
Si k est la vitesse lorsque « =i= 5o, on aura C = mk*^ et par suite
(3) {mu^-^ mk^) = 2 I Jds.
Ainsi r accroissement de force vive du mobile, lorsqU^il passe d'une position à une autre ^ est égal au double dtH ^j travail de la force motrice.
268. Si la force P est la résultante de plusieurs forcer Pi, Pt^. . .9 dont les composantes tangentielles sont Ti, Tj, Ts,. . .5 on aura
T = t, -+. T2 -h Ta -f- . . . ,
d'où
/ Tels = I T^ds-h I T.ds-^
VINGT ET tJKlkME LEÇON. .1^'
On aura donc
(i) mv^ — /wX» =^ 2 ( / Tt' fis H- / T,ds
— wx» — 2 ^ fTt'cis H- Tt;
Donc, si Ton appelle forces moiwantes celles qui font un angle aigu avec la tangente et forces résistantes celles qui font un angle obtus, et dont Teffet est de retenir le mobile dans son mouvement sur la courbe, on pourra dire que ;
L'accroissement de force i^/Ve d*un mmife, lorsqu'il passe d'une position à une autre, est égal au double de ï excès du trai^ail des forces niouv^antes sur le traitait:* des forces résistantes. ' *'•
. Ce principe est ce que l'on nomme le principe des forces a)iues ou de la transmission du travail, pour le cas d'un simple point matériel. Nous l'élendrons plus tard au cas d'un nombre quelconque de poihUr ■
CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DES F0B,C]eS VIVES.
269. Quand le mobile n est sollicité par aucune force ou qu'il l'est seulement par des forces totijours normales à la trajectoire, on a T = o, et par suite u = k. Ainsi le mouvement est uniforme, ce qu'on a déjà trouvé par une attire méthode.
270. Supposons que %.dx -^Y dj ^Zdz son la difîntielle exacte d'une fonction. /"{x, j", -z) de trois >rdonnées Xy jy z considérées comme des variables
ndépeadantes, ce qui exige que l'on ait
dx dy dz
H résulte des lois de la différentiation que x^ j^ z étant regardées comme des fonctions quelconques du temps, on u aura pas moins
Xr/.r-f- Yr/j-f Zdzz=z T ds = d./{.r,r, z.' 1. i3
Par conséquent, Téquation des forces vives se réduira à
OTp2 = C -h 2/( j: , /, z);
et si l'on désigne* par a, i, c les coordonnées- du mobile, lorsque i^ = kj on aura
(2) mp^ — w^*== 2/(jr, j, z) — 2/(fl, ^^ c).
II résulte de là qiie l'accroissement de forcé vive, lorsque le mobile paâse de la position (a, &, c)*à la position (x, y^ z) ne dépend pas de la trajectoire dans Tintervalle, ni du temîps qui s'est écoulé entre les deux positions exmes, mais seulement des coordonnées de ces deux positions.
