Dans le cas général, réquation

représentera une infinité de surfaces différentes, passant

par les divers points de la trajectoire AMB. Nous allons dé* montrer que si LMU est Tune de ces surfaces, la force motrice , P au point M lui est normale/oK En effet, la normale à la surface LMU au point M fait avec les

axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

^f df df . , ,1 < ^

j-> ~i -t\ or ces quantités sont ell^a^mèmes proportionnelles à X, Y, Z, ou aux cosinus des ^gles que la fcrce P fait avec les axes. Donc la force motrice est normale à la surface LMU.

, C'est ce que l'on vérifie dans l'exemple précédent où lu surfaces analogues à f(Xy y y z) == C sont des plans kriacmtaux perpendiculaires à la force motrice qui agit inrmt la ver^cale.

-^ la surface / (j:, y> -s) = C offrait une résistance in-* iDÎe, et si le point mobile se trouvait placé sur cette sans vitesse acquise, il y demeurerait en repos^ le la force motrice serait normale en ce point à la •urface. C^est ce qui arriverait pour un point matériel placé sans vitesse sur un plan horizontal.

CAS ou IL V A UÏÏE KÊSISTAIfCE.

273. Quand un mobile éprouve un frottemen t ou se meut dans un milieu résistant, l'expression Xû?x-f- Yflf^^-f-Zrf^ n'est plus une différentielle exacte. En effet, s'il y a frottement) cette force s'exerce suivant la tangente à la

trajectoire et en sens inverse du mouvement du mobile elle est proportionnelle à la pression normale N du mo bile sur la courbe qu'il décrit. Le frottement est don( représenté par — /^N, f étant un coefficient constant Ses composantes seront

et l'expression

sera la partie de ILdx -r-^dy -\-Tjdz provenant d^ frottement. Or la pression N est inconnue au point con ■ sidéré et ne dépend pas uniquement de l'arc parcoun» On ne peut donc pas dire que — jlsds^ et par suite qu^ ILdx -\-Ydy'-i-tàdz, soit, dans ce caô, la différentielU exacte d'titiie foiiction de x^y, z,

274. Quand le mobile se meut dans un milieu résislani la résistance de ce milieu est une certaine fonction f(v^ de la vitesse, et la partie de cette force qui entre dans ILdx -hYdy -{-Zidz est, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire, — f[i^)ds. Or la vitesse f , el par suite y'(p'), ne dépendent pas des différentielles de x^ y^ Zy et par conséquent — f[i^)ds n'est pas une différentielle exacte, non plus que ILdx -\-Ydy-\-2tdz,

Dans ce cas, si le point se meut sur une courbe coBr nue, il faudra prendre l'équation

/7ï -7- = T ou m -7- = T, dt de

T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. Au moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de 5" et alors la détermination du mouvement sera ramenée l'intégration d'qnc équation différentielle du second 01^ dre, tandis qiie si "Kdx -hY dj -^T^dz était une différei ^

VIAGT ET UNIEME LEÇON. I97

lielle exacte, on n^aurait h intégrer qu'une équation différentielle du premier ordre.

CAS OU LE ICOBILB iSST SOLLICITÉ PAR D^S FORCES DIRIGÉES

VERS DES CENTRES f 1X£S.

275. Il est un cas important dans lequel l'expression X^lx-h^ dy ^Zidz est toujours une diflërentiellç exacte : c^est celui où un point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fixes et dont les intensités sont des fonctions des distances du mobile à ces dilTérents centres. Supposons qu'une force dirigée vers le centre fixe R (e,y, g) repousse un point M (x^ 7, r), avec une

Fig. 92.

énergie R, fonction seulement de la distance MK = r. Les composantes de la force R étant

Ri=^,

la