Comme la formule
(i) diz=
^A^ -^ 2ga[ cos 0 — cos a)
n'est pas intégrable dans tou$ les cas, il est nécessaire de restreindre un peu la généralité du problème en cherchant seulement la loi du mouvement quand le pendule effectue de très-petites oscillations de part et d'autre de la Verticale Oz. En premier lieu on ne diminuera pas la généralité du problème en supposant nulle la vitesse du ïHobile au point A 5 car si elle n'était pas nulle en ce point, il suffirait d'augmenter l'angle a d'une certaine quantité pour avoir le point où cette vitesse est nulle, et c'est ce point que l'on prendrait pour le point A. Si donc on fait /i = o, là formule (i) se réduira à
dQ
y/a cosô — 2 cos a
Remplaçons maintenant cos 9 et cos a. par leurs développements en séries, et comme les angles a et 6 sont trèspetits, négligeons les puissances de ces quantités à partir delà quatrième. Il vient alors
d'où et
cos 0 = 1 > cos a = I ?
2 cos 0 — 2 cos a = a' — 0^
3o6 GO0E5 DE MÉCANIQUE.
d'où, en intégrant,
(3J / = i/-arccos —
Nous n^ajoatons pas de constante, parce qu^on doit avoîi 0 = a pour ^ = o.
La formule (3) donne
eEjpcMOn de Tare décrit pendant le temps t.
283. Pour avoir la dnrée T de la première oscillation (et l'on sait déjà que les oscillations sont isochrones, quelle que soit leur amplitude), il faut faire dans Téquation (3)0 = — a, d'où il résulte
arccos( — i).
Lorsque nous avons supposé que l'équation (3) donnai simultanément ^=o, 6 = a, nous avons admis tacitement que nous choisissions o pour Tare dont le cosinus est Funité. Or, pendant la première oscillation, quanc l'angle 0 varie d'une manière continue de d=a à 6 = — a le temps t croit d'une manière continue, ce qui exig*
que arccos - croisse aussi d'une manière continue; mai
au départ cet arc est o : donc, à la un de l'oscillation on ne peut le prendre égal à 3 tt, à 5 tt, . . . , arcs qui odb tous — I pour cosinus , mais à tt. On a par consëquei^
Ce résultat fait voir que le temps de roscillation ne dépend pas de a, et par conséquent que la durée d'un« oscillation est indépendante de son amplitude , pourvu. que celle-ci soit très-petite.
Le temps d'ùiie demi-oscillation se trouve en faisant
0 = 0 dans la formule (3), on obtî résultat facile à prévoir.
îenl - i/-
ou -T,
284. Les résultats précédents s'étendent aux oscillalions d'un point pesant, écarté très-peu de la verticale et p. Q assujetti à se mouvoir sur une
courbe dont le plan 08cul|\(c;ur au point le plus bas B cilVillJ^r tical. Eu effet, le cercle ^ûi|«ttlateur au point B se confondant avec la courbe, dans ïïne étendue très -petite, le mouvement aura lieu, de part et d'autre du point B, comme sur le cercle osculateur de la couii)e en ce point. Dès lors la durée commune de
chaque oscillation sera ^^ i/-> p étant le rayon du cercle
^ulateur au point B.
