AUTRE MÉTHODE

t. Nous allons donner la théorie du pendule par une tnéthode qui pourra s^appliquer au cas où cet appareil Fig. 99. est sollicité par une force quel-

conque ou lorsqu'il éprouve la résistance d*un milieu.

Les mêmes notations (280) étant conservées^ soit m la masse dtf point mobile. L'action de la pesanteur peut se décomposer ^ deux autres : une force normale détruite par la résis- ^'ncedu point fixe. C«tte dernière, représentée en géné-

ral

di^

par m — -j a pour valeur m g sinÔ. On a donc

' Posons AM = 5 , on aura

odB dt

où

dP di

mO COURS DE MÉCANIQUE.

J^équation du mouvement sera donc

ad'B . ^

ou encore

Multiplions par 2^9 et intégrons, il vient

f ^V— a ^ cos 0 4- C == o :

mais on doit avoir eu même temps

donc

C = 2 - cos a ;

donc

"■'^Vl

^H cos 0 — 2 cos a

équation déjà obtenue, et dans laquelle on doit prendre le signe — ou le signe -f- , selon que le mobile se meut dans \e sens ÂBA' ou dans le sens opposé.

Pour obtenir la durée d'une oscillation, nous changerons de variable. Soient

x=z\ — cosô, ^=1 — cos«; on en déduit

r/Q = — ==î 2cosO — 2 cos a = 2 (^ — ap) ^ y 2x — uc^

et par conséquent, eu prenant le signe — dans la formule (3),

I /a dt

VIlfGT-TROISIÈMB LEÇOIT. âll

mais le temps T d'une oscillation étant le double du temps que le mobile emploie à parvenir au point le plus bas, on aura, puisque \e& valeurs de x qui correspondent aux positions A et 6 sont i et o,

sJbx-^a^Kf \

sjbx-^x* i/ 1

BÉVELOPPEMEIIT EN SÉRIE.

289. L^intégrale précédente ne pouvant pas s^exprimer sous forme finie à Taide de fonctions algébriques, circulaires ou exponentielles, noiis allons la déveloj^r eiï série. Oh a d'abord*

IX 1 . 3 x' H

sérié convergente, puisque cç représentant i — cosd est moindre que 2.

Par conséquent, on aura

dx dx I xdx

I • S x' dlr

En posant

v^rx —

on pourra écrire

290. On sait, par la théorie des intégrales binôm< que toutes les intégrales définies Ai, At, . . . , se ramène à Ao* Cette réduction peut se faire directement de manière suivante. On a

2 )fbx — jcr (2 n — l) bx'^^ dx — 2 nx^ dx

2 sjbx — X* donc

. n / \ 1 af*~^ dx x^dx

£/..2dt^""' ^bx — J!r"= (2/ï — 1) 6 — ==r — 2/r-

vf ^o? — x^ ^ôx —

d'où, en intégrant entre les limites o et b^

donc

On aura de même-

et par suite

JC^ dx \ ■ Or

yiNGT-T&OlSlÈME LEÇON. Ill3

donc on aura

dx A — 2 ar : =r arc COS r- —

s)hx — X^

Par conséquent

AiSrir, A|t=:-Ô7r, A, = T^'^fj Am = — v-^^*Tr,. •>

fii par suite

,,Ar-^(5)'î-^(3i)'(î)"i

^elle est la formule qui donne la durée d^une oscillatioii pour une amplitude quelconque.

291 . Quand Tamplitude est très-petite, A = l — cos â peut être négligé, et Ton retrouve la formule approçM^

T=iïr

Si, remplaçant h par i — cos a ou ^ — fc — ^ — ^--7