I • 2 • O ' CK
^ négligeait dans Texpression les puissances de a supé- \ 'ieures à la seconde, on trouverait
^insi la durée de roscillaiion dépend de Tamplitude et augmente avec cette quantité.
PENDULE CYCLOÏDAL.
-^92, Considérons le mouvement 4'un point pesant sur ^^ cycloïdé CBC renversée, située dans un plan verlî- ^*1 et dont Taxe BD est vertical.
ai/J GOtJ&S DE MécANIQUK.
Prenons pour axes de coordonnées l'axe Ba? et la lan gente B/ au sommet B. Soit A le point de départ du mobîL
Fig. 100. où nous suppose
K rons sa vitesse nulle
et soit M (a:, y) s; position à UDC épo que quelconque t c Soit a le diamètr BD du cercle gêné ratéur. Les compo santés de la fore accélératrice étant
X = — ^, Y = o, Z = o, l'équation générale du mouvement est
(t) rf,p»=±: — 2^^4?,
p' = C 2 gX.
Si BH = A, on doit avoir (^ == u pour x=A, d'oi o = C — 2 gfc ". donc
Soit maintenant BM = 5, on a 5' = 4^^ =^ 2 vx en ap pelant d le rayon de cotfrbure BK == 2 BD de )a cycloïd au point B. Il en résyjlte '
s = ^ 2.bx
et
dx
ds
fie
Comme dans la première oscillation v^ = — -7- ? on ^ déduit, à cause de u = s/ 7. g [h — or),
VINGT-TliaiSIÈME LEÇON. SlS
lutëgrant et déterminant la constante par la condition que Ton ait à la fois t = o ei x := h^ i\ vient
«' -wî
arc cas
293. Le temps que le mobile emploie à descendre de I A en B s'obtient en faisant x = o dans cette formule. En appelant T la duré» d'une oscillation, on aura
arc cos(— i\y d'où ^
(5) '^ = Vr
On obtiendrait encore ce résultat en faisant x=zh dans la formule (4) et en prenant 2 tt pour arc cos (i).
Ainsi, dans la cycloïde, la durée des oscillations est rigoureusement indépendante de leur amplitude, et difïé* rents mobiles, partis au même instant, sans vitesse ini- ^ale, de divers points de cette courbe, atteindraient au même instant le point le plus bas. Le temps d'uoe oscil*
'ation est ^ i/-"^ c'est la durée des oscillations très-petites du pendule simple dont la longueur est b, rayon de courbure de la cycloïde au point B, ce qui s'accorde avec ^ qu'on a dit des petites oscillations d'un pqint pesant *Ur une courbe quelconque.
294. On pourrait imaginer un pendule dans lequel l^s oscillations s'effectueraient toujours dans le même '^emps, malgré l'inégalité de leurs amplitudes. Construis sons la développée de la cycloïde, composée des deux ^^oiiiés KC et KC d'une cycloïde égale à la première. Supposons qu'un pûiut pesant soit attaché à l'extrémité d'un fil "épar son autre extrémité au point K. Si le mobile, dans ^ï^ede ses portions, se trouve sur la cycloïde CBC', comme *^ fil, abandonné à lui-même, restera toujours tangent à
!Ài6 COURS DE MÉCADilQUE.
CKC, son extrémité M décrira la cycloïde CBC ïout< les oscillations devront s^efiectuer dans un même temj
égal à îf \/-5 mais ce moyen, proposé par Huyghens,
été abandonné, parce qu'il n'offre aucune précision dar la pratique.
TAUTOCHRONÈ.
S95. On appelle tautochrone toute ligne courbe si:
laquelle un point pesant abaodonué sans vitesse initial
pj ,Q, d'un point quelconque de cet)
courbe parvient dans le mêm g temps au point le plus bas. L
cycloïde est donc une cpurb tautochrone (293). Nous allons faire voir que c'est ] jseule courbe tautochrone dans le vide.
Si l'on appelle t' le temps nécessaire pour décrire Al on a
et îl s'agit de déterminer s en fonction de a:, de manife
que la valeur de t' ^Tg soit indépendante de h.
Supposons s développée en série suivant les piiissancr ascendantes de a: :
(2) 5 = Aa;«-t-Bx^+Ca:y +
Comme s et x ont leur origine au point B, et qu'on
^ = o pour X = p, il faut que tous les exposants soie::
positifs et qu'aucun ne soit o. Le plus petit a doit et-
djc fis
moindre que l'unité ; car en B on a — = o ou ^ = 00
Substituant la valeur de s dans (i), on aura
/'V^ = Aa I fU -h Bg I * dx -{-... y
Jo \ Il ~- X Jo s h — X
VINGT-TaOISIÈME LEÇODI. at^
et, en faisant x=:huy
