Soit M un point mobile sollicité à chaque instan

par une force dont la direc lion passe constamment pai un même point O. Les com posantes de la force accélé ratrîce, par rapport à troii axes rectangulaires mené par le point O, seront pro portionnelles aux coordonnées du point M. On aun donc

d^^ d'y d^z d^ "dF 'dÔ

OU bien

r — yd^x

dt^

zd^

X — xd^z

dt^

jrd

'z — zd'^y

dt'

équations dont chacune est une conséquence des d^

VINGT-QUATRIÈME I.EÇON. 223

autres. En les intégrant et désignant par c, c/, d' trois constantes arbitraires, on aura

ixdy — ydx = cdt^ zdx — xdz=z c' dty yd% — zdy =z c" dt.

Les constantes c, c', (/' se détermineront quand on connaitra la position initiale et la vitesse initiale du mobile, en grandeur et en direction, c'est-à-dire les valeurs ini-

..alesdea:,j,z,^,^,5-.

' 300. Si Ton ajoute les équations après les avoir respectivement multipliées par z, j^, x, on a

(3) 0=rC2-Hc>-+-c"x,

équation d'un plan passant par Torigine des coordonnées. Ainsi la trajectoire est une courbe plane. En effet, on voit bien à priori que le point mobile ne doit pas sortir du I plan mené par le rayon vecteur initial et par la direction ^ la vitesse initiale.

Interprétons maintenant les équations (2). Soit OP = r la projection du rayon vecteur OM sur le plan des x^, ei soitPOx = 0, on aura

tangos ~i .r

^'où, en dillérentiant par rapport à t^

dB xdy — ydx xdy — ydx cos* 6 X* r* cos' 6

^'où Ton tire

r^d^ r= xdy — ydx,

y*^is si l'on appelle X l'aire BOP parcourue par la projection du rayon vecteur, pendant le temps f, on a

aa4 COURS de mécanique.

donc

rfX = - [xdy — ydx) ou d\ =: — c//f, d'où Ton lîre

n n*y a pas de constante à ajouter : car X étant la projection de Taire pendant le temps £, on doit avoir ^ = o pour f = o.

On conclut de là que le secteur engendré par le mou' vement de la projecfion du rayon vecteur sur un plan quelconque est proportionnel au temps. La constante c est le double du secteur parcouru, pendant Tunité de temps, par la projection du rayon vecteur sur le plan des 3cy. On aura des résultats analogues pour les deux autres axes. On aura donc

(5) > = ic/, V = ic'/, r=zlc^t.

Si l'on projette le rayon vecteur sur le plan même de It courbe, on en conclut que Taire engendrée par le rayon vecteur lui-même est proportionnelle au temps.

301 . Réciproquement, si la trajectoire d'un point mobile est plane et telle, que les aires engendrées par le rayon vecteur, partant de l'origine des coordonnées, soient proportionnelles aux temps, la force motrice passera constamment par r origine des coordonnées. En effet, dan cette hypothèse, le secteur OAM est proportionnel a^ temps ^ par suite il en est de même de sa projection X, sU le plan des xy. Donc, en appelant c le double de Fai». parcourue par la projection du rayon vecteur sur le pi*

des {x^y) pendant Tunité de temps, on a X = - e/. Oi^

rf> = - r'dB = i (xdr ^Ydx)y

one

VIKGT-QUÀTBIEME LEÇON.

xdy — yclx = cdt.

ifleremiant cette équation par rapport à t^ considérée )mme variable indépendante, ou en déduit

a.Gfe;iûiiâàie

drx

'dF

d'y dt"

conclut de là cjue les -composantes de la force motrice

railèles aux axes, savoir : m -r- >

dW d^z

m -7- et m -7- 7 en di* dfi

)elant m la masse du point mobile, sont proportionles aux coordonnées de son point d^aj^lication. Par séquent, le parai lélipipède dont les coordonnées x, ; sont les trois côtés contigus est semblable à celui a pour côtés les composantes de la force motrice, d'où ait que la diagonale du second, suivant laquelle est gée la force motrice, coïncide en direction avec la dîaale du premier, qui aboutit en O, Donc la force triée passera constamment par ce dernier point.

F&BSSTOIf DE LA VITESSE £N COORDONSÉES POLAIRES.

•02. Prenons pour pôle le point O, par lequel

passe constamment la direction de la force motrice, et pour axe polaire, une droite quelconque Ox, située dans le plan de la courbe. Soient OM = r et MO j: = 0. En appelant ds la différentielle de l'arc de la trajec-

ds^

*^ terminé au point M, on sait que i^*= — ; or, quelle

ait6 COUBS DE MéCASIQCB.

que soit la variable iiidé|itfn(lante. ds* •=^ df^ -\- i^ d^ donc

di*

303. On a souvent besoin de connaître les composan de la vitesse an point M, suivant OM et suivant nnep pendiculaire à OM. Or, si d est l'angle OMT fiMIpé { OM avec la tangente MT à la trajectoire, v cos ^ et f^ sii sont les deux composantes. On a

^ dr . - rd^ cos ^ =r -— > sin 0 = —r • ils as

d*aillenrs

Donc

304, G>nsidérons la force accélératrice R qui agit sa vant MO* Supposons-la attractive \ si elle était répulsive il suffirait de changer R en — R, dans ce qui va suixr<

Alors R - et R - seront les composantes de R parallèl

aux deux axes rectangulaires Oj: et O^ et, comme ell< agissent dans le sens des x et des ^négatifs, on aura

(3) ^ = -Rf, ? = -R^-

^ ' dt^ r dt^ r

En ajoutant ces deux équations respec^tivement mul pliées par^ et par x, on a, comme plus haut,

x(Py — yd^x

ir, =o.

Ou en déduit

xdy — ydx z= cdty

VIlfGT*QlJ4TRIÊME LEÇON. Zt^y

«tcommcx^/^--— yd!r = r*rf0 (300), îl vi^i

(I) t'ciû = cclt.

Si Voii multiplie respectivement par ^eixel adyioi deux équations ( 3 ) et qu'on les ajoute membre à membre,

ilviepi

• dt^ r

Or .

ds^ dx^-hdr^

d'où résulte

Donc

(5) d.p^ = —2Kdr.

308. On peutc4>teiiir une expression de la vitesse, qui ^e contienne ni t, ni ses différentielles. On a

de'

D ailleurs réqualion (4) donne di^ :^ — ^« Substituant cette valeur dans Téquation précédente, il vient

r f-Yi

**•* enfin

^^c, si on cotinait la nature de la trajectoire, on pourra,

au moyen de cette formule, calculer la vitesse point quelconque.

306. Quant aux composantes de la vitesse suivi et suivant une perpendiculaire k cette droite, il es d'en avoir des expressions indépendantes du tem

effet, si dans les équations (2) on remplace v/f nà

on a • . "'i..^

cdr . crdB

c;fos^= -—TT» «'5intf = --— -, r^dB r^dB

(7) . «'COS«î= rr-9 P5in^=--

^'' dB r

On tire de la dernière

p étant la longueur de la perpendiculaire OT = i abaissée du point O sur la tangente MT, d'où l'oi dut que la vitesse en un point de la courbe est en inverse de la perpendiculaire abaissée d^ point O tangente à la trajectoire^ au point considéré.

EXPRESSION DE LÀ FORCE ACCÉLÉRATRICE EN FONi DES COORDONNÉES DU POINT MOBILE.