Supposons toute la masse d'une planète réunie
à son centre de gravité , et cherchons le mouvement que prendra ce point « sollicité à chaque instant par une force dont la direction passe constamment par un point fixe O , et dont l'intensité varie en raison diverse du carré de la distance OM = r.
£q premier lieu, la trajectoire est plane et située dans '^ plan qui passe par le point fixe et par la direction de ** vitesse initiale. Prenons le point O pour pôle et Ox P^iiraxe polaire, et soient r et 6 les coordonnées du point ^) au bout du temps t : on aura, par le principe des ^îres ,
(M r^dB = ceit.
Oi
r^dQ rdQ . ^
— —- = r X — r- = /' X t' sm J; dl dt
^^ appelant v la vitesse du mobile et à Tangte que forme
a34 COUKS DB MéCAHlQUS.
le rayon yecteur avec la tangente à la trajectoire. D
(2) c =:p'X.rsinS,
Ainsi on peut dire que la constante c, qni représ< déjà le double du sectenr engendré par le rayon ye< pendant Tunité de temps, la trajectoire étant sup connue, sera pour nous, dans la question actuelle, is dnit de la vitesse du mobile par la perpendiculaire iib du point fixe sur la tangente, à un instant quelco par exemple à Forigine du temps.
Soit maintenant R la force accélératrice à Fii que Ton considère. On a
(3) d.t^^-^nKdr,
et comme ici R = ^ » en appelant /i la force accélén à l'unité de distance, il vient
et, par suite, en intégrant.
La valeur de la constante arbitraire b se détermin
en cherchant la valeur de — — i'*, à une époque i
conque du mouvement, par exemple à Torîgine du te D'ailleurs, puisque
réqualiou diflerenlielle de la trajectoire e»t
On voitqpft— devant éfre <]o ou ]> o, suivaut que r
croit oirplferolt lorsque $ augmente, il faudra prendre au unrnérateor le signe -— ou le signe +» auivant que le prékaier ou le second cas aura lieu. Si donc nous suppo* sons qne r crois'se en même temps que 6, on aura
• -^ cdz — c^dz
VIKGV->CIJNQUI£ME LEÇOUf.. ^3^
314. Pour intégrer pluis facilement, posons -=z, S où. résulte
rfe= =^"^
^^i&-J 2p« — C'2? V^fA'— *C2— (C'C— f»)'
OU bien
— c^dz
dQ =
^?^^\PW8-
On a toujours fx' — ic' > o, sans quoi — serait imaginaire pour toutes les valeurs possibles de 0. Donc- si Ton
pose
i' vient
ViA^— 6c? \li — (]^
**ou, en intégrant et appelant w un angle constant, ou a enfin
0 = w -f. arc cos q
V^okiue celte formule ait été établie dans î'hypo-
a36 COURS DE MÉCANIQUE.
ihèse où r et 6 croissent simultanément, elle conviei également, alors même que r diminue lorsque d croi
En effet, lorsque ce dernier cas a lieu, -jt doit être pli
grand que o^ donc il en est de même de -jrx car, à eau
j j c*dt , , ^ , dq 'dz
de iiq = * aq et azy et par suite 377 et — » so
toujours de même signe. Or l'équation q =: cos (0 — a: donnant ^ = — sîn (fl — «}, fait voir qu'en prenant
formule 9 — w = arc cos y, ^^ et par suite — > changei:
de signe en s'évanouissant lorsque 6 — tù devient égal un multiple quelconque de tt, ce qui correspond aux po si lions du mobile où z, et par suite r, est un maximua ou un minimum.
315. En remplaçant z par -9 dans l'équatic /ient, pour l'équation de la trajectoire,
ion (7), î vient,
/ bc'
i-h i / I cos(0 — w)
On voit que cette courbe est toujours une section conîqui car Téquation générale d'une section conique, rapporU à un foyer et à un axe polaire, faisant un angle o) ave Taxe qui passe par ce foyer, est
