On peut encore arriver à ce résultat d'une aul
TIKGT-NEUVIÈME LEÇON. ai
manière et déterminer en même temps la position de la droite suivant laquelle agit la résultante. Introduisons nue force Ri égale et directement opposée à la résultante^ le système sera en équilibre* Par conséquent, si X| , T| , Zi, sont les composantes de Ri et x^ ^yi , z^ , les coordonnées d^un point quelconque de sa direction^ on aura
(a) jr-|-Xi==o, r-hY,=:o,. Z4-Z, = o
61 ensuite
IZ,j, — Y,z,-*- L = o, X,z, — Z,ar,4-M= o, T, J?i — X, j, H- N.= o.
Lies trois premières équations donnent
Xi = — -^, Y|=: — y, Z|^-— z.
^u retrouve ainsi ce résultat connu que la résultante ^^<^ique des forces proposées est égale et parallèle à la lorce R et qu'elle agit dans le même sens.
On a ensuite les équations (3) pour déterminer Xi, Ti y Zi* Mais ou voit à priori que l'on ne trouvera pas ^e valeurs déterminées pour ces trois inconnues, car, ^ il y a une résultante, on doit pouvoir transporter ^on point d'application en un point quelconque de sa di* Section. Ces trois équations doivent donc se réduire à deux et à une équation de condition. En effet, à cause de X. t = — JC, Yi = — J', Zi = — Z, on peut écrire ces équations ainsi :
Zx» — JTa, -hM=z=o,^ .
XXi — Fjr,4-N = o.
^*^ïs, si on les ajoute membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par JT, F, Z, on aura
XL + rM-»-ZN=:o,
^iialion déjà obtenue. Si elle est vérifiée, deux des trois
^2 CiyUllS BE MÉGÀHIQVB.
équations (4) s^itn»! les^éqwàlions 4e la miroite smva laquelle ftgit la rërattaiite.
Cas d'un T<HirT F11Œ«
371 • SoU O le point ûxe. En y transportant toutes 1^^^ forces, on obtiendra une résultante R et un coupC — *^ (S, — S). La résultante est détruite par la fixité d^^ — ^ point. Quant au couple (S,— S), il doit être nul ; cai en transportant le couple parallèlement à lui-même ji
qu'à ce que la force S vienne passer par le point fixt. ^,
cette force S serait détruite el la fdrce — S aurait toc=:3Dt son effet. Donc le momenf; du couple (S, — S) est ni et la pression qu'éprouve le point fixe est égale à la rési tante de toutes les forces transportées parallèlement à
elles««mèmes en ce point.
373. Ou peut encore obtenir «es conditions en i Nuisant la résistance Rf du point fixe. Soient Xi, Y^, les composantes de la (oroe Ri : puisqu'il y a ^mlibi on aura
jr-f-x,=ro, r-hYi=o, z-hZi=o.
L'introduction de la force Ri ne donnant aucun veau terme dans les expressions L^ M, N, on aura
L = o^ M = o, N ac o.
Les trois premières équations déterminent Xj^Yi, 2i et font voir que la résistance Ri est égale et directement opposée à R. Les trois ^Mitres sont les équations de conditions et expriment que le couple résultant (S, — S) ^^^^ nul.
CAS n'uW AXE FIXE.
373, Supposons qu'il y ait dUos le système ua JàSfe fi.'s^^i ou, ce qui revient au même, deux points fixes O et l** Prenons pour axe des 2, la droite OH, et pour axes o^^ j:et des jy deux droites passant par le point O.
Rg. 135.
Vl»Gl>-W«UVlkME LiEÇON. a3
La résulunte des forces transportées parallèlement i elles-mêmes au point O <est détruite, puisque ce point «it
fixe. Quant aux couples résultant de cette translation tt A* tués dans les plans x Ox et z Oy, ils sontdécruiu par la réeis tance de Taxe Oz, car on peut faire tourner chacun d'eux jusqu'à ce que les deux forces qui le composent soient perpendiculaires à ^'axe fixe îjui les détruit toutes. Il ne reste donc plus que le «ouple N situé dans .le plan xOj*, qui doit être nul ^ sans quoi, en le transportant jusqu'à ce qu'une de ses forces passe par le point O, celle-ci serait détruite et 1 autre ferait tourner le système autour de l'axe Oz, La seule condition d'équilibre est donc
On peut l'énoncer en disant que la somme des moments des forces par rapport à V axe fixe doit être nulle.
374. Si le corps peut glisser le long de l'axe, par exemple, s'il est traversé par une tige fixe et inflexible, les composantes X, JT et les couples L, M sont détruits P^x la résistance de l'axe, mais la force Z ne l'est pas. On a alors deux équations d'équilibre
375. Nous avons établi, pour conditions d'équilibi^, ^^ns le cas d'un point fixe, les équations
do
^c, pour qu'un nombre quelconque de forces appli- ^P^^es à un corps solide soit en équilibre autour d'un P^îïit fixe, il faut et il suffit qu elles le soient autour de **^îs axes passant par le point fixe.
^76. On peut encore traiter la question ea introdui-
a4 COURS D£ MÉCANIQUE.
sant les résistances des points fixes. Si les points O et H devenaient libres, on rétablirait Féquilibre en appliqaaÔLt en ces points des forces convenables Rt et Rj. Soît O H= A. Appelons Xi , Yi , Zi , Xt , ¥< , Zt les compo santés parallèles aux axes des forces Ri et Rs» Les équsa.tions d'équilibre seront alors
vr-i-X,-f-X,=:0, r-f.Y,-f-Ya=:0, Z-i-Z,-hZa=:0,
L — ¥2/1 = 0, MH-XaA = o, N = o.
La dernière équation est la seule condition d'équilîkzisre déjà trouvée. Quant aux cinq autres, elles feront cc^nnaitre les résistances des points O et H ou les pressicziDns qu'ils supportent. On en tire
X,= — A^H-~5 Yi= — F rj
Ges équations déterminent Xt , Xj , Yi et Y» , elles ne donnent que la somme Z, -H Zj des composarï-'es parallèles à Taxe des Z, ce qui doit être; car, s'il J « équilibre, les deux forces Zi et Zj qui agissent suivaimt:Ja même droite, peuvent être appliquées au même point ^» et Ton peut partager leur somme en deux parties qu^" conques appliquées aux points O et H.
ÉQUILIBRE d'un CORPS QUI REPOSE SUR UN PLAN FlXÏ^-
377. Supposons un corps pressé contre un plan ^^ un de ses points par une force ^ passant par ce point ^ normale au plan ; ce corps sera en équilibre , car il ï* J a pas de raison pour qu'il se meuve dans une directî^^ plutôt que dans une autre.
Fig. ia6.
VlN6T*lfEUVI£ME LEÇON. 25
SI la force, au lieu d'être normale au plan, lui était
oblique, on pourrait la décomposer en deux autres,
JW normale et l'autre située dans le plan. La première
ne ferait qu^appuyer le corps sur le plan et la seconde
aurait tout son effet pour le déplacer. Ainsi la condition
nécessaire et suffisante pour F équilibre est que la force
guipasse par le point de contact soit normale ou plan.
La même conséquence s'appliquerait au plan tangent, si
le corps était pressé contre une surface courbe par une
force qui passerait par le point de contact.
