ÉQUILIBRE DU POLYQONE FUNICULAIRE
ViQ, i33.
Considérons maintenant un polygone funiculaire
ou un système dépeints, A, B, C, D, E, F, liés entre eux par des cordons. Le premier et le dernier cordon^ AB et EF, sont sollicités par des forces H et K dirigées néees»sairement suivant les prolongements de ces cordons ,
il n'y aurait pas équilibre. Aux différents som-
3a COURS DE MÉCANIQUE.
mets B^ C, D, E sont appliquées des forces quelconque s P, P', P'', P*, agissant par Fintermédiaire de cordon cpii se réunissent en ces points. U est inutile de supposa: plus de trois cordons réunis au même commet; car ^ Ton avait, au sommet B, un autre cordon sollicité p une force Q, on pourrait composer cette force avec première et ne considérer que la r&ultante des deuK. forces P et Q.
390. Dans Vétat d'équilibre^ chaque cordon^ tel q^^ CD, doit être tiré par deux forces égales et contmiM^^ qvLon peut supposer appliquées à ses deux extrémités. En efiet, si l'on coupait le cordon CD au point I, Téq^libre serait détruit et chacun des deux points C et D se'rait entraîné dans une certaine direction. Lès dem forces qui solliciteraient ces deux points étant actuellement détruites par la liaison que le cordon établit entre eux, sont nécessairement contraires et dirigées suivant le prolongement du cordon CD. Chacune de ces forces représente la tension du cordon.
391 . Ce principe conduit aux conditions d'équilibre du polygone funiculaire.
« La force P et la force H, dont on peut supposer le j int d'application transporté de A en B, ont une résultante X dirigée suivant le prolongement du cordon CB. En effet, puisqu'il y a équilibre, il ne sera pas troublé, si Ton suppose le point C fixe, et on voit bien alors que a doit avoir la direction BC. La force X mesure en même temps la tension du cordon BC -, car puisqu'il y a équilibre, celui-ci doit être tiré en C par une force égale et contraire à X. En transportant X au point C, on voit de même que la résultante T des'deux forces X et P' est dirigée suivant le prolongement de CD et mesure la teH' sion de ce cordon. Cette tension T est donc la résultante des forces H, P, P' transportées parallèlement à ell^*" mêmes au point C. En continuant aiosi , on verra (p^^
TREJNTIEMS LEÇOPî. 33
là tension V du dernier cordon s'obtient en composant
Jes forces H, P, P', P'^ P"^ transportées parallèlement a
elles-mêmes au point E, et comme il y a équilibre, cette
force V est égale et directement contraire à la dernière
force K.
Ainsi toutes les forces immédiatement appliquées au
polygone funiculaire y transportées parallèlement à elles-: fTiêmes en un point quelconque, se font équilibre autour de ce points et la tension de chaque cordon est la rér sidtante de toutes les forces qui agissent efun même côté de ce cordon,
392. On peut arriver à ce résultat d'une autre manière, en supposant le polygone solidifié de telle sorte que les droites qui joignent les points consécutifs ne puissent pas changer de longueur. Il en résulte d'abord que toutes les forces transportées parallèlement à elles-mêmes en ^n point doivent s'y faire équilibre. Ensuite l'équilibre lie devant pas être troublé , si , en supprimant la parlie DEK, on applique au point D, suivant le prolongelïientCD, une force égale à la tension Y de ce cordon, il • «ut que la force Y et toutes celles qui agissent sur la partie conservée ABCD, se détruisent. La tension du <iordon CD est donc égale à la résultante des forces H, P, P', comme on l'a vu par l'autre méthode.
3. En supposant connue la figure du polygone en I *çiilibre, on peut déterminer le rapport de deux forces ^ de deux tensions quelconques. En effet, comme chaque sommet doit être séparément en équilibre sous l'action ^es forcejB et des tensions qui y sont appliquées, on a
H sin PBC P ~ sin abc'
P sin ABC X sinABP'
X sinP'CD P' sin BCD '
P' sin BCD Y "^ sin BCP'
^^ ^insi de suite.
TT
34 COCmS DE XÉCÂSIQCE.
Si Ton veut a^oir le rapport de deux forces on tcnsio qudootujiies, on multipliera un certaÎB nonbre de i proportions terme à terme.
394. Lorsque Ton connaît la grandeur et la dir tion des forces, les conditions d'équilibre peuTent %\ primer analjtiquement par trois équations. Appd^ ajbjC'^e,fjg'^aj^, yia'^^\y\ ....les angles que ù avec trois axes rectangulaires les directions des for données H, K, P, P, . . . , on aura
/ Hcosii -4-Kcos^ H- Pcosa -»- P'cosat' -f- .• =o,
(i) ' IIcosA-»-Kcos/-f-PcosBH- FcosJ'-l-.. .=o,
( Hcosr -f-Kcos^H- Pcosy H- P' cos 7' -4- ... =0.
395. Réciproquement, si ces conditions sont rempBe c'est-à-dire si les forces sont telles^ ^iie, transporta parallèlement à elles-mêmes en un point qaelcorujw elles s'y fassent équilibre, il y aura toujours une figu^ d'équilibre : en d^ autres termes, on pourra toujounass gner au polygone dont les côtés sont donnés, une figa telle, qu'il demeure en équilibre sous Taction de c forces.
ELn effet, plaçons le premier coté AB du polygone da la direction de la première force H. Dirigeons ensai le second côté 6C dans le prolongement de la xésc tante X des deux forces H et P. Plaçons de même le d suivant CD dans le prolongement de la résultante d forces X et P, ou, ce qui revient au même, des fore H, P, P' transportées parallèlement à elles-mêmes au point C, et ainsi de suite. U est évident, d'après ce construction, que les sommets B, C, D resteront en éqi libre sous Faction des forces H, P, P', P"; il en sera même du dernier sommet E. En effet, il résulte c équations (i) que le cordon EF a la direction de la Îomc et que celle-ci est égale et direi'temenl opposer à la rës'' tante de toutes les forces H, P, P', P", P"^
fREDITlÈME XEÇOKT. 35
396* Supposons fixées les extrémités A et F du polygone fankalaire, dont la forme est donnée. Ou peut supprimer les forces H et K, sans détruire l'équilibre. Or^ en supposant connues les forces P, P', P'^, . . . , on peut se proposer de déterminer les pressions que supportent les points fixes A et F, pressions égales et contraires aux forces H et K.
Puisqu'on suppose connue la figure du polygone, on connaît les directions (a, &, c) \ {eyf^g) de ces pressions. Leurs intensités s'obtiennent au moyeu des deux proportions
H sin PBC K sin DEP
P sin ABC P'' sînDEF
397. Si la figure du polygone n'est pas donnée, on aura, pour déterminer les huit inconnues H, K, a, b, c, e^J] g^ i'abord les cinq équations
H cps « -f- K ces e -f- P cos a -h . . . = o, H cos ^ -+- K cos/ -i- P cos p -4- . . . = o, H cos c -h K cos ^ -h P cos 7 H- . . . = o ;
cos' a H- cos' b -h cos^ r = i , cos' e H- cos'y ^ cos' g ^= i.
On obtiendra trois autres équations en exprimant que la différence des coordonnées de môme nom des extrémités A ifît F du polygone est égale à la projection du polygone *^r l'axe correspondant.
