BH
lira -— - = o.
BF
D'un antre lôté lini — - n'est pas infinie, à moins que
Aa né soit perpendiculaire à AB. En effet, BFetAC sont deux grandeurs indépendantes Tune de l'autre, puisque pour transporter AB en aft, on peut d'abord faire tourner cette droite autour du point A, puîç la transporter parallèlement à elle-même en ab. On 'conçoit alors que le rapport des droites BF et AC doit tendre en général vers une limite finie qui dépend de la nature des courbes AL et BM.
HB Le ra'pport —^ a donc pour limite o. 1\ s'ensuit qu^
le rapport
Bp BC __q^
TRENTE-TROISIÈME LEÇON. 6j
yjem l'unité et que BD est dirigé dans le sens HD C. Ainsi les projections infiniment petites^! et q sont \ et dirigées dans le même sens. D'ailleurs lés forces Qi sont égales et contraires. Donc leurs moments ^aux'et de signes contraires, et Ton a
7. La même chose peut se déofiontrer par le .calcul, it a:, y, z\ x\ y\ z\ les coordonnées rectangui des points  et B. Ces points peuvent être i^gardés ae assujettis à se mouvoir le long de deux courbes raires AL et BM, avec la condition que l'on ait tou-
ignant la longueur de AB. On aura donc, puisque / le constante,
= iJZf dx' ^ ^1=:^ dy + ^^ dz' .
ïtds = Aa^ ds' = Bfc les éléments des courbes AL, correspondant à une position infiniment voisine de •pite AB. La relation précédente peut se mettre la forme
'x' — .r dx y' — y dy z' — z dz ds ...
, , / J-' — X dx'
/ ds l ds l ds
y' — y dy' z' — z dz'
l ds' t ds
x' — X dx y' — y dy z' — z dz
/ ds l ds l ds
x' — X dx' r' — Y dy' z' — z dz'
coslB«> = y-, -h' — -77 H 7— -T-,9
/ ds l ds l ds
^vu que ds et ds' soient positifs, condition qui peut
fJO cou AS DE MÉCANIQUE.
B. Appliquons en  et B, suivant AB, deux forces Q, -^ Q égales et contraires, puis en A' et B, suivant A'B, deux forces Q', — Q' égales et contraires. L'état du système ne sera pas changé.
Quand le point B se déplace infiniment peu, il est obligé de se mouvoir sur une courbe déterminée, car il doit être sur une surface donnée et rester à des distances également données des points A et A'. Cela posé, appelons toujours p^p\p"^ . . .^ les projections posili* ves ou négatives des vitesses virtuelles des points d'application , A, A', A^, etc. Désignons par Q^ le moment virtuel de la force Q appliquée au point A, et par. Q'^' celui de la force Q' appliquée au point A'. L'intensité de Q' étant arbitraire, on peut en disposer de manière que les forces P' et Q' appliquées au' point A tiennent ce point en équilibre sur la courbe A'L'. Il est nécessaire et suffisant , pour cela , que la somme de leurs moments virtuels soit nulle (446 ) ou que Ton ait
On peut alors supprimer P' et Q' appliquées en A'. On peut aussi disposer de l'intensité de la force Q, de sorte que les deux forces — Q, — Q' tiennent le point B en équilibre sur la courbe où il est obligé de demeurer, ce qui exige, puisque les moments virtuels de ces deux forces sont, d'après le lemme précédent, — Q9 ^^ — Q ? ' que Ton ait
de là et de Téquatiou précédente on déduit
Ainsi Tétat du système ne sera pas cbaugé si l'on supprime la force P' appliquée au point A', pourvu que 1 ^^ applique au point A une force Q dont le moment virtuel soit égal à celui de la force P'.
TRBfiTE-TROISlklfE LEÇON. 7I
1 pourra de même supprimer les forces appliquées mtres points A'', A"', . . . , pourvu qu'on applique }iDt A des forces dont les moments soient égaux i . V'"p"', etc.
n'aura donc plus que des forces appliquées au point
inc, pour que le système soit en équilibre, il faut et
ît que ces forces se fassent équilibre et par consé-
que la somme de leurs moments soit nulje. On aura
P/» -h Py -f- F>" -f- . . . = o.
. . S'il n'y a pas équilibre, les forces appliquées au
A donneront une résultante R qui ne sera ni nulle ni
Fig. 147. normale à la courbe A a et qui
par conséquent aura un moment virtuel Rr plus grand ou plus petit que zéro, selon qu'elle tendra a faire mouvoir le point A dans le sens A a ou dans le sens contraire, c'est-à-dire sel'elle fera avec A a un angle aigu ou un angle obtus.
Rr==P/>-h Py -h... =2P/!?;
selon que la somme Z 'Pp sera positive ou négative, rces tendent à mouvoir le système dans le sens A a ins le sens contraire. Et si le mouvement A a est cfaé, il faut et il suffit, pour qu'il y ait équilibre, Wp soit nulle ou négative.
7^ COUBS DE MÉCANIQUE.
SUITE DU PfiINCIPB DES VITESSES METUBLLBS.
Démoustration du principe dans le cas d*un système ii liaisons inoonplèles. — Cas où les liaisons sont exprimées par des in^alités. — Autre forme de Téquation des vitesses virtuelles. — Usage de cette éqottioo pour trouver les conditions d'équilibre.
SYStÈME A LIAISONS IMCOMPLÈTES.
452. Nous allons mainienant étendre le principe des vitesses virtuelles à un système à liaisons incomplètes, ou dans lequel les coordonnées des points sont liées en^ , elles par un nombre i d'équations, i étant <^ 3 /* — i.
Je dis d'abord que s'il y a équilibre, la somme des moments virtuels est nulle. Considérons en eflet Ton quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons du système. On peut établir de nouvelles liaisons au nombre de 3/i — i — /, telles, que le déplacement virtuel en question devienne le seul possible. Mais alors les forces qui agissent sur tous ces points dont le système est devenu à liaisons complètes, se faisant encore équili' bre, la somme de leurs moments virtuels doit être égale à zéro. Cette somme est donc nulle pour tout mouvement virtuel compatible avec les conditions du système.
453. Réciproquement, quand la somme des moment^ virtuels est nulle, l'équilibre existe. En effet, si les for-^ ces appliquées au système pouvaient le mettre en mou-^ vement, tous les points éprouveraient simultanément d^^ déplacements très-petits pendant un temps très-cour<^- On pourrait, sans changer ce mouvement, établir 3.^ nouvelles conditions qui rendraient le système à liaison»^
TRENTE-QUATRIÈME LEÇON. jZ
empiètes, et qui empêcheraient tout mouvement virle] différent de celui qu'on suppose avoir lieu. On aulit donc un système à liaisons complètes, dans lequel la •mme des moments virtuels serait nulle et qui ne serait
is en équilibre.
Le théorème -des vitesses virtuelles se trouve donc
eiidu à un système quelconque.
LIAISONS QUI s'expriment PAR DES INÉGALITÉS.
454. Quand les liaisons qui existent entre les diflfénts points d'un système sont exprimées par des équa- ODs^ chacun d'eux peut éprouver deux déplacements ;aux et de sens contraires. Mais dans certains systèmes
n en est pas ainsi.
Par exemple, concevons un point A placé sur une sur-
ice fixe S, dans Fintérieur de laquelle il lui est impossi-
pj ,g^ ble de pénétrer, c'est-à-dire qu'il
peut se mouvoir d'un côté du plan tangent, mais non de Tau— tre. Il est clair que s'il se meut dans le plan tangent, il pourra toujours se déplacer dans deux sens opposés A a et A a'*, mais '>ur tout autre mouvement son déplacement sera posbledaus un sens et impossible dans Tautre.
455. Les conditions de celte espèce sont ordinaireent exprimées par des inégalités. Par exemple, si un >int est posé sur un plan fixe et ne peut se déplacer que un côté de ce plan, en prenant celui-ci pour plan des y et prenant l'axe des z dans le sens de son mouvement ^ssible, on aura pour ce point -z > o , et il faudra expricr que la variation de z est nulle ou positive, c'est-à- ^ poser l'inégalité
lie .même on exprimera qu'un point ne peut pénétrer
imri:
iwiniii*'^ à de
i^cafroàlt
tKTVVlLSi-
:r r. — cF j:
L reresL r ^^: -n
IL' .JL Mn^
tâ4
i moments virtuels de ses composantes, on a
P/? = X^j: -f- Y^j^ -f- Z^« ; à de même
py = x'tJa/ 4- T^x' + z'^z',
linsi de suite. En substituant ces valeurs dans l'équaa (i), elle devient
CONDITIONS d'équilibre d'uN SYSTÈME.
188. Voici maintenant comment on déduit du principe léral des vitesses virtuelles les conditions d^équilibre n système donné. Supposons que les liaisons qui exist entre les divers points du système soient exprimées ries équations
I L=:o, lVl = o, N = o,....
ucs équations devant être satisfaites par les nouvelles ordonnées des points, après un déplacement fnfinint petit compatible avec Tétat du système , on aura
ax a y dz ^dx
dx dy dz dx
d^ ^ rfN ^ rfN ^ dN ^ ,
--- (îa: -h -- 5r -*- -r- ^2 4- ^— , «Ja?' -h . . . =o.
dx dy dz dx
Pour bien comprendre ces équations, il faut concevoir 'aux l équations données on ait ajouté in — i — i Ua lions nouvelles, telles, que le déplacement considéré tienne le seul possible. Alors toutes les variables moins e deviennent fonctions de celles-ci, et on peut, sous point de vue, différen lier les équations (i). D'ailleurs ne diminue pas ainsi la généralité de la question, isque le déplacement particulier que Ton considère
JÔ COURS DE MtCAllIQUE.
peut èïre l'un quelconque de ceux qui sont compatible: avec l'état du système.
459. Les équations ( 2 ) au nombre de i contienneht'3 a variations âx^ây^ âzj etc. ^ il y en a 3 /i — 1 qui sont arbî traires, et les autres, au nombre de i , dépendent déceliez là. Si on porte les valeurs des dernières dans Téquation
(3) '^{Xex-hYSy-hZSz) = o,
celle^icontiendraseulement3n — / termes multî plies cha cun par Time des 3 /» — i variations arbitraires, et comme la relation (3) doit être vérifiée quelles que soient ces variations, il faudra égaler à zéro leurs Zn — i coefficients. On aura ainsi 3n — t équations qui, jointes aux équations (i), donneront 3 n équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre, entre les composantes des forces et les coordonnées de leurs points d'application.
•460. L'élimination de {'variations au moyen du sj^r tème (2) peut se faire par la méthode des multiplicateurs* Multiplions la première par X, la seconde par /ix, etc., e' ajoutons-les membre à membre avec Téquation ( 3) . Déter minons les quantités ^, fx, . . - qui sont au nombre d<3 par la condition que les coefficients de i variations soi^^ nuls et égalons à zéro les 3 « — / autres coefficients. No"* aurons les 3 n équations suivantes :
l ^ ,dL c/M rfN
