X-f-A-— 4-fA-— 4-v -7-4-a.v dx dx
Y4-À— -4-p— --hv-p-f-..
djr df dy
\ ^ dL du dN
„, . dl. rfM rfN
^+'dI'-^i'-dP^-'lh'^--="-
TREJiTE-QUÀTRlÈME LEÇON. 77
1. Réciproquement, si ces équations ont lieu, je dis es forces se font équilibre; car^ en multipliant ces ions respectivement par dx^ âjr^ dz^ dx\ ... et mt, on retrouve Téquation
e réduit à Téquation (3) , en ayant égard aux rela- (a) : orTéquation (3) exprime que la somme des iuts virtuels est nulle.
!. Les équations (4) conduisent i une conséquence xjuable. On voit qu'elles resteront les mêmes et que libre actuel du système subsistera si Ton supprime idition L = o , à laquelle le système devait satisfaire tous ses déplacements, pourvu qu^on joigne aux \ primitives de nouvelles forces, savoir une force quée en A et dont les composantes parallèles aux seraient
^ dh , dh , dL djc dy dz
force appliquée en A' et dont les composantes se-
dh ,dh .dL
^1^'' 'dP' ^1^''
isi de suite. La liaison exprimée par Téquation L = o ait donc ces forces.
intensité de la force qu'il faut appliquer au point A, ixemple, est égale à
^/WR^hm
78 COCILS DE MtCàJIIQinC.
et sa direction est celle de la normale à la sBr&ce représentée par réi|Batîon
L = Oy
cjoand on j regarde x, >\ z comme seoles Yariables, poii-
qne les cosinos des angles qoe la normale ùàt arec lo
,, rfL rfL rfL axesscml proportionnels a — « — j — •
Les ixmdEtions M = o , N = o, etc., peuvent de même être supprimées, poorm que Ton applique à tous les points du système des forces couTcnaMes. Ces forces auxiliaires, qui peuvent tenir lieu des liaisons qui existent entre tous les points, sont celles qui produisait les tensions et les pressions dans les liaisons du système.
Enfin, si l^n supprime toutes les liaiscms, ce qui rend tous les points libr^, on Toitque les forces P, F,.-appliquées à ces points libres sont détruites par les forces
-rfL
rf)l
rfN
^ eût
^rfùr'
rfL
rfM
rfN
*rfr'
, rfL
rfM
rfN
*rfi'
^rf.^
^rf.'
K>iiit A,
, rfL
rfM
rfw
^rfr-
rfi-'
^rfx'^
rfL
rfM
rfN
'rfy^
''rfr'
. rfL
rfM
rfX
' rf::''
^ rf--
applî<|uées au point A\ et ainsi de suite.
Srm LES OIVEES MOrvCXEXTS VIETCELS D Vîî STSTKlC^'
463. Un mouvement virtuel quelconque se coni)'^ de 3n — i mouvements virtuels particuliers et dislif*^
treute-quatrieme leçon. 79
mi âiXj à\yt i\ z^ âi x\ ... les variations des coornées des points pour un premier mouvement; â^x^ , dfZ^ dfX\. . . pour un second mouvement. Enfin, intégal à 3n — /, soient cJ^x, âijTjâiZy dix\... les ations des coordonnées pour un Ar**"** mouvement. a les équations
dis , dL . dh ^ dh . ,
-j-Sx-h-j- ^jr-^-r^^-^ -T->*4?'-|-... = o,
«te djr • dz aar
dx dy dz daf
({uelles on satisfera de la manière la plus générale, eu posant
^x = a, SiX -h Hj ^, X -{- a^^^x -t- . . . -H ur* ^1 j:
$jr = a, 5,j -^ flj^jj ■+■ a^i^iX -H. . .H- n* ^*^
'^a:' = a, ^, x' -|- a^ S^x' 4- «3 ^3 x' H- ... -H ar^ ^4 or'
ai, . - -ai, étant des indéterminées au nombre de A le Zn — i. En effet ces valeurs satisferont aux équas (i) ; ensuite parmi les 3 A: variations, il y en a A [quelles on peut donner des valeurs tout à fait arbires. En déterminant convenablement les k facteurs ag, ... ait, ces variations restant au nombre de i se ivent déterminées par les formules (a) de manière à sfaire à toutes les équations (i). Donc, etc. 1 faut toutefois qu'il n'y ait pas de relations linéaires re 5^ .r , B^y ... de la forme
6, ^, .r -J- A, ^2 a: + . . . + ^x- ^^ j: = o , ^i^ij -h ^2^2 J-t- ... 4- ^*^*j = o,
b^dix' -{- b^ 5, .T 'h ... -h bk $kx' = o ,
il*-, »i^» *!*. %■»' - • i.', JLj^, «.s, *,*»-.
t'é^n ^J^ «Wt*-, «iHf
JfSI. ^mâ réqn]ihred*a
point
4b poiac et Toa dknit les mii^
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tL=o.Ji Zm—i etdoatla
9L,#M, ... sont ■aDcs
99, wf <
TnENTB-jCINQtlIÈMK LEÇON
TRENTE-CINOUIÈME LEÇON.
APPUGATIONS DU PRINCIPE DBS VITESSES AIRTUBLLBS.
libre d*un systènrè invariable. — Cas où le système est gêné par elque obstacle. — Équilibre du polygone funiculaire. — Propriété Téquilibre.
ÉQUILIBRE d'ciI^ SOLIDE itÊ^TÂRlABLE.
66. On peut déduire du principe des viteisses virtuelles conditions d'équilibre d'un système solide, formé de )ints matériels liés entre eux â*une manière invariable, irchons d'abord le nombre de ces conditions. Trois Us étant pris au hasard dans le corps, pour exprimer leurs dislances mutuelles* ne changent pas, il faut s équations. Il en faut ensuite 3(/i — 3) ou 3/i — 9 'es pour exprimer que lt;s n — 3 autres points restent ss distances invariables des trois premiers. Ainsi les ions du système établissent 3» — 94-3 ou in — 6 ations entre les coordonnées de tous ces points, nme on doit avoir en tout in équations pour déterrer les coordonnées des n points du système, il y aura c six équations d'équilibre.
S7. On pourrait obtenir ces écpiations en appliquant *
la méthode générale; mais il est plus simple d'imprimer au système six mouvements ^' «' virtuels arbitraires et
^ indépendants les uns
des autres, de telle sorte que les relations qui en résulteront entre les forces, ne pou-
Fig. i5(K
8a COURS DE MtCAl^QUB.
vant se déduire les unes des autres, seront préçiséme les six équations d'équilibre. \ '
Le déplacemenl le plus simple consistera à faire motaivoir le corps parallèlement à ïwa 4ibs axes,,Oj: pa^^i exemple, de telle sorte que tous ses points décrivent d.^ petites droites Aa^ A' a', toutes égales. Alors dy^ dt^dy^. âz\ . . . , sont nuls et dx = <î.r''= dx^^\\ ...
Dans ce cas Téquation générale
(i) ^(1^9x-^YSx,-i-Zâz)=o ,
devient, en supprimant le facteur commun âx^ *
on aura de même
468. On obtiendra les trois autr'es équations d'équilibre en faisant tourner )e corps successivement autour, des trois axes. Supposons d'abord que la rotation s'effectue autour de O^. Le point A décrira ui> élément Aa d'une circonférence lAH de rayon AC = r et parallèle au plan xOy. Soit l'angle .ACI = o. On à d'abord dz = Oj'puis à cause de
• a: = /• ces w , y == r sin » , i
on a, la rotation étant mesurée par l'angle dco,
^ jT r= — r sin &> ^ot) , Sy == r cos w ^w • ou bien
•^ ' *■ ■ Donc
et de même
x'^^' + r ^y H- z' ^z' = (r a:' — xy ) ^rf.
TRBimK-CIliQÛlÈME LKÇOW. 83
On a donc, ch substituant ces valeurs dans Féquatiorf (i) et supprimant le {acteur constant ^w ,
• etilem^me
' (?) *. 2(Zj-Yz)=o,
