SNT DE DEUX CORPS LIÉS PAR UN FIL ET PLACÉS SUR DEUX PLANS INCLINÉS

Deux corps pesants m et m' dont les masses sont sont placés sur deux plans inclinés ÂG, A'C^,

et unis par un fil passant sur une poulie située au sommet des deux plans.

Les deux parties du fil sont respectivement, parallèles à ces deux plans et passent par les centres de gravité : corps. Quelle est la loi du mouvement de cet ge?

ut supposer que chacune des masses soit réunie à re de gravité. Soient Cm = x, Cw' = x'; nomet a' les angles CAA', CA'A, et / la longueur ifil.

égligeant les frottements, la force motrice du , dans la direction de son mouvement , est , et celle qui donnerait à ce point supposé libre

ement qu'il a réellement est m -t^- D'après le de d' Alembert, la force ms Ana-^m -—- doit

lilibre à la force analogue m'gfsina' — ^ ^'TT^

il appliquée au point m! et tirerait ce dernier en srse. On a donc

éliminer x* au moyen de la relation

IIO COURS DE MÉGAHfQUE.

on en tire d'abord

dx' dx

Ht lu'

Ainsi à «kaque inistant les vitesses des deux points sont égales et de sens contraires, ce qui était bien évident ï priori. Il €»n résulte aussi

d^x' __ d^x 'dF ■"* di" '

d*où Ton conclut, en substituant dans Téquation (i), . d^x ( m sin a — /w' sîn a' )

Sans aller plus loin, on voit que la force accélératrice du point m étant constante, son mouvement est uniformément accéléré. D^ailleurs on déduit de cette équation, par deux intégrations successives,

, - , dx ( m sin a — m' sin ot! )

, ,. fi" ( /7t sin a — m' sin a') f

^^' nir^ m' 2

les constantes c et c' étant les valeurs, de »^ et de JC rela' tives à la position initiale du mobile m. Si Ton avait

m sin a = m' sina%

on aurait

el le mouvement serait udiforme^Si eu outre on avait c = o, on aurait vf = oeiX'=c'. Ainsi le corps resterait en repos, ce qui Si'açcorde bien,4veç les çQi\dltioBS ,cp<i' nues de l'équilibre de deux corps placés comme dans l'exemple actuel.

TEEKTE^EPtlÈMB LEÇON. III

riE M4IÎIÈRE DE TRAITER LE PROBLEME PRÉCÉDENT.

^. On peat dans cet exemple particulier se dispenser ployer le principe de d^Alembert, en introduisant -ia

on T. On a

m —7— = /w 1' sin a — T,

m' -T— = m' g sin a' — T, . dt^ *'

en éliminant la tension T,

(<r"n«-^)=«.'(ffsin«'-^)

avoir la tension T, on tirera de cette é^ation, en

plaçant — r— par

^ • do * dt

d^x ^ (m sin a — w'sina') \ dt^ M H- ///

ortant cette valeur dans Téquation (1),

g^/«/ii'(sina -f-sina') T = •

i la tension du fil est constante pendant toute la durée louvement.

^1. Dans la détermination précédente, nous n^avons (ait usà^e du principe des vitesses virtuelles. 'On e au même résultat en l'employant. Gomme les deux

lia COURS DE MÉCAHIQUE.

se font équilibre, on aura, en vertu de ce principe,

g' sin a — — j Bx -t- m' (g sin a' — -^ j 9x =

mais d'ailleurs, à cause de a: + x' = /, on a

9x Eliminant le rapport j-^ entre ces deux équations, omh

comme plus haut

(ff»"— ^)-'»'(ff«n«'-^)=o.

Si Ton employait la méthode des multiplicateurs pour cette élimination, il serait bien facile de montrer qae k coefficient X que Ton emploierait n'est autre que la tension T du fil. En effet, multipliant Téquation (6) par — ^ et ajoutant à Téquation (5), on aura