DÉFINITIONS

^42. On appelle moment d^ inertie d'un point matériel P^i* x*apport à un axe le produit de la masse de ce point P^** le carré de sa distance à l'axe.

^"13. Le moment d'inertie d'un système de points ma- ^^'îels dont la forme est invariable, par rapport à un axe, ^^t I«| somme des moments d'inertie de tous ces points par '^^pport à cet axe. Ainsi m, m\ m", . . . , étant les masses ^©s molécules et r, r', r'', . . . , leurs distances respectives ^ l^€ixe, le momen t d'inertie du système sera

^ous le désignerons ordinairement par Smr*.

^ii. Les points matériels qui composent un corps ^ y sont pas répandus d'une manière continue : on ^^^tj au .contraire, qu'ils sont séparés entre eux par ^®s espaces vides qu^on appelle des pores. Cependant on P^^t dans chaque cas obtenir le moment d'inertie , en ^^Pposant la masse distribuée d'une manière continue J^^^iis le corps. Cela revient à prendre, au lieu de l^mr*^ ^'^tégrale définie de r^dm^ pour toute retendue du ^**Ji8, et, comme on Ta vu en Statique à l'occasion des

1^4 COURS DE MÉCAMQUC

centres de gravité des corps solides, les résultats de ces deux hypothèses diâ^rent très-peu, pourvu que les pores soient extrêmement petits relativement au volume de tout le corps, n suffira donc de décomposer le corps en une infinité d'éléments infiniment petits; on prendra le mDment d'inertie d'un élément quelconque, et Ton aura celui du corps par des intégrations.

MOMEUTS DIREETIE d'uM PARÂLLÉLIPIPÈDE RBCTAUGLE.

515. Soit AE un parallélipipède rectangle, et proposoiiS-nouS de trouver ses moments par rapport aux trois

arêtes contiguës OA, OB, OC.

Soit m (x^j^ z) un point quelconque de ce solide. LVlément " qui correspond à ce point est .

lin parallélipipède mm' infiniment petit dont le volume est dxdydz et la masse pdxdydz^ p étant la densité de ce corps que nous supposons coustante dans toute son étendue. La distance du point m à Taxe Oz est ^x'-hy*. Donc le moment d'inertie de cet élément par rapport à 0 z est

( X- -h j' ) p da-dydz , et, par suite, le moment du parallélipipède est

Fig. 157.

P I f I {^^^y^) dxdydz.

Celte intégrale triple doit s'étendre à toutes les valeui^s positives de x, j^, z respectivement plus petites que a, &, c ou que les longueurs OA, OB, OC des arêtes du parallélipipède.

Comme z n'entre que par sa difTérentielle sous le signe d'intégration, il païaît plus simple de commencer à inté-

TRFNTE-NRUVIÈME LEÇON. liS

g^r par rapport k cette variable entre les limites o et r, ^t qui donne

jr^) dxdy.

3n intègre ensuite par rapport à y depuis j^= o jusqu'à y=i h et enfin par rapport à x, de a:= o à j: = «. On rouve ainsi

pour le moment d'inertie du parallélipipède. En appelant M la masse du corps, on a M = |9a&c. L'expression pré-

cédenté sera donc -5- (a'-h &'). La même chose se dira

ies autres axes, en sorte que les moments d'inertie du parallélipipède par rapport aux axes 0;j:, 0^, Oz sont

j(A^H-c»), ~(fl»-f-c«), j.(«*-4-^V!.

^ I on suppose

^ aura

l'on voit que, des trois moments d'inertie, le plus 'and correspond à la plus petite arête et le plus petit à plus grande.

ellipsoïde bomogème.