Soit
équation d'un ellipsoïde rapporté à ses diamètres prin- *paux : le premier membre sera moindre que i pour ^ut point intérieur, et plus grand que i pour tout point ^^érieur^
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TRElfTE*NEI]VIÈMB LEÇON. 1^7
^n posant ^iï voit que
ais / ^r* — ,y'dy est égale à la moitié de l'aire du
-cle
dont
le
rayon est r, c'est-
-à-dire à
OU
Il reste
à intégrer x^ dx 1 i-
or J
car
Tinégalité
nne
par conséquent, x doit être comprise entre — a et a. On aura ainsi
Q obtiendrait de même
iU changeant 6 en a et a en 6, Donc si Ton désigne par C ie moment d'inertie de Tellipsoïde par rapport a Taxe des z, o» aura
xjsm
■w ■ ■t-^iseitip-.
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Cl r
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r-UtTTÎK Et J» irniB&t Tllfc»lJ
■affugt- «rnr - rît - — B*.
TREFTE-NEVriÉME LEÇOH. 139
est te moment d'inertie,' relalivenient k un diamètre qnelcoDqac, d'une couche sphërique dont les rayons intérieur et eiiérieur sont a et i, et dans laquelle la densité p, supposée la même pour tous les points situés à une même ■lisunce da centre, est variable avec celte distance.
SOLIDES DE RËTOLUTIOH.
SâO. On peut connaître, par une seule int^ration, le moment d'inertie d'im solide de révolution, par rapport * sort axe.
Soient OD la courbe méridienne et 0:c l'axe de révolution. Prenons cette droite pour axe des x, et pour axe des jr une perpendiculaire Oy située dans le plan du méridien.
Soient MP et M'P' deux ordonnées infiniment voisines, et NKK'N' un rectangle compris entre ces deux ordonnées; si
PN = u, OP = x,
yKK'V = d>idx,
®* le volume du solide engendré par la révolution de, ce "^^tangle sera
*^iic le moment d'inertie de ce solide sera
^itfududxXa' ou Hitfu'ditdx, "'■ t^elui du solide engendré par PMM'P'
*^^t-à-dire a npy^dx; et enfin le moment d'inertie du
i3o coizfta vm xitLàiii^K*
TotaBie cDfgaidré par la révolution àt Taire ACDB scr^-
CB désirant par a et & les abscisses OA et OB des extr^'^'^ mîtes de la courbe CD.
591 . CberchoDS, par exemple, le moment d Inertie segment ^iliéiiqoe. Il sufim de supposer ipote la cou CD est le cercle qui a pour éqmtion
Si Ton porte cette Taleur dans rexpressîon
on aura T intégrale
-ira I (arx— jr 1=aLr,
On troQTe. en efiectnant rint^nrati<Hi«
expression qui donne — ^=— pour le moment d'inertie ^^ la sphère entière^ en faisant i = 3 r.
■KLATIOS KKTftK U» MOMENTS O WnTO FAR RÀPPOS^'^'
A nEUX ATES PARALLÈLES.
5S2. Etant donné le moment d^inertie d*un corps lîde par rapport à nn axe qui passe par son centre ^^ grairité, il est facile d*a%oir son moment d'inertie parr^P^ port à uu antre axe parallèle au premier.
TRElITE'liiEWlÈME LEÇON. ^3l
îiifoiis \e centre de gravité pour origine des coord^n-
nées , le premier axe pour axe dej5 z j et pour plan dès xjt le plan des deux axes parallètes.
Soit a leur plus courte distance OA. •
Considérons un 'point quelconque M (ar, yj x) du système, Qt soit m la masse de ce point :
nommons r et R ses distattces
MKàO^jetàAB. Ona
I cause de x^-\-j* = r*,
iuite
iw R^ = « r* -— a fl»ix H- nuiF,
mrait des équations analogues pour to«ts les points fsième. Donc en les ajoutant et désignant par M la e du corps, on a
V mR*z= V'/irH-^ 'ia^m^ -f-M«^ ^
Origine des coordonnées étant le centré de gravité >rps, on a ,
^^mx = G.
donc enfin
2 /il R2 = y /wr' -h M<.
hsi le moment d"* inertie d'un système de>' points rapport à un axe quelconque est égal à celui de ce
i32 coims DE uicAMiqvmm
sysîhne par n^fport à un axe parallèle à edm^dmen^ par le centre de gravité, augmenté du produit de l^ masse du corps par le carré de^la distance des deu^ axes. On conclut de là que ie moment d'inertie d'iiWM, corps par rapport à un axe qui passe par son centre d^ grauité est tnoindre que pour tout autre axe parallèle celui-ci; que ce moment est le même pour tous les axt parallèles et également éloignés du centre de gravit^S, et qail augmente à- mesure que Vaxe s'éloigne de c^e point*
Si Ton représente ^^mr* par MAr*, Féquation préc oedème peut s'écrire
2^I^' = MtA'+a»).
RELàTIOlff EHTEE LES «COMEHTS D^IHEaTIE PÂE HÂPPOEr A DIFFÉ^EBTS AXES QUI PASSEHT PAR LE MEME POIHT.
323. Soient OI nn axe quelconque et Ox, Ojr, Oz trois Fig. 160. axes rectangulaires. Dérignons
par m la masse d'un point qu^l' conque M(x,jr, z). Abaissoxiâ MH perpendiculaire sur OI et posons
OM=:«, MH = r.
Ona
(i). r»= a»— («cosMOH)';
or «, 6, 7 étant les angles que OI fait avec Ox, O/, Oz.
on a
acosMOH = xco$a-|-ycos6-h zccsy.
D^ailleurs
ii- = x»-|-r*4-2
TEENTS-HEDVIÈME LEÇON. l33
Par conséquent * '
(2) r» = x*-t-j*-f- 2'»— (j:cosa4-j^cosp + z cosy)', Çue l'on peut écrire ainsi :
