LE COEPS EST MIS EN MOUVEMENT PAR DES PERCUSSIONS

pposons que tous les points du système soient g mis en mouvement par des per-

cussions simultanées. Décomposons chaque force instantanée P en deux : Tune Z, parallèle à Taxe Oz et qui est détruite par la résistance de cet axe ; l'autre Q^ située dans le plan MmM', perpendiculaire à cet axe. Soit i^ que cette dernière composante qu^il suffit de serait capable d'imprimer au point m s'il était sera la quantité de mouvement correspondante, a vitesse de rotation du système, la quantité de it effective du point m situé à une distance r de *ir(ù. Donc si Von appelle ^ la perpendiculaire ée du point K sur la direction de la force Q, en exprimant qu'il y a équilibre entre les de mouvement imprimées et les quantités de it effectives, celles-ci étant prises en sens

l46 COURS DE MÉCINIQQE.

contraire :

d'où

mr^

,,536. Supposons que toutes les vitesses f/, i^Xv^ o0iiHnnniquées à difleretits points du système par des pe^ eussions, soient ^ales et parallèles, et désignons par |xla somme des masses des points qui reçoivent directement cette vitesse commune f^, que les liaisons du système les empêchent de prendre réellement. Appelons/* la distance du centre de gravité de la masse pi à un plan passant par Taxe et parallèle à la direction des vitesses. On a, diaprés les propriétés connues du centre de gravité,

. et la formule (i) devient

^mr^

Remarquons que [i peut n^être pas la masse totale du système; mais \* mr* est son moment d'inertie total.

Si le système est un corps solide continu, il faut remplacer ^nir^ par Tintégrale / r^rim prise dans louie rétendue du corps

S37. La formule (a) convient à un corps solide ^

Fig. i63.

QUARAIITE ET tlMlÈlCB LEÇON. l47

>bile autour d'un axe fixe Oz, choqué par un autre rps C| qui après le choc reste attaché en Ct au premier dont tous les points sont animée de vitesses égales et irallèles. Il faut alors lùpposer que fx est la masse du »rps Cl, 1^ sa vitesse^y la distance de son centre de graté à un plan passant par Taxe et parallèle k ki direction

î la vitesse i^ : enfin que ^ mr* est le moment d'inertie

du système invariable formé par les corps C et d. Il est évident que cela revient à imprimer aux points de la partie Ci du système (C, Ci) des percussions capables cle donner à tous les points de cette masse jut des vitesses égales et parallèles à ^.

538. Si le corps C est choqué simultanément par plu- -urs masses ft, ii\ |x''v**» animées de vitesses différentes qui lui demeurent attachées après tous ces chocs, on ra

Oi>

I fivf indiquant la somme de toutes les quantités anajues k (11^/ et relatives aux masses fi^ jx'; jx", ....

^39. La formule ( i ) peut se déduire de Téquation (534 )

l48 COURS DE MÉCANIQUE.

de là même manière qu'on étend le principe de d'Alembert aux. quantités de mouvement finies. Il suffit de supposer que la force Q qui agit perpendiculairement à Taxe est une percussion. Le temps 9Ae son action étant trèscourt, il est permis de supposer que (/ reste constant pendant cet intervalle de temps. Alors, si Ton intègre Tëquation précédente depuis 2 = o jusqu'à t ='6, on obtieut

«= — î — y.q I QA;

or on a

Qdt= mv

donc

mvq

mr'

540. Si le système, au lieu d' éprouver des percussions simultanées, reçoit une suite de chocs se succédant à des époques quelconques, la vitesse angulaire sera toujours donnée par la formule

car, après un premier choc, le mouvement est le Diênp- ' que si le choc avait lieu à cet instant-là, le corps étar^ en repos \ par conséquent on peut supposer que le corp^ reçoive le premier choc et le second au même instar:^ pour déterminer "la vitesse angulaire après la secon(?^ percussion, et il en sera de même pour de nouvelles pe«^' eussions.

quàràhtb et unième leçon. 149

calcul des percussions exercées sur l^axe fixe.

41 • Supposons que le corps soit mis en mouvement une force instantanée qui imprimerait une vitesse Y le certaine masse p. au centre de gravité de laquelle serait appliquée. Cette force instantanée ou percusi a pour mesure la quantité de mouvement jx V. Pres toujours Taxe fixe pour axe des z, et pour plan des

xy le plan perpendiculaire à 1 axe nxe mené par le point du

coips auquel est appliquée la force instantanée. Nous désignerons par a et 6 les coordonnées de ce point d'application.

On sait que les quantités de mou- Tement imprimées aux différents points doivent faire équilibre : quantités de mouvement effectives, prises encens coure, et cet équilibre doit avoir lieu en vertu de la fixité l'axe. On peut rendre cet axe immobile en fixant deux »es points pris à volonté. Prenons le point O, origine coordonnées, et un autre point H quelconque sur Oz, supposant que ces points cessent d'être fixes, on rra détruire les percussions exercées sur Taxe et ntenir cet axe en repos, en appliquant aux deux its O et H deux forces instantanées Rj et R^ d'inteni et de directions convenables. Si Ton introduit ces s forces, qui représentent la résistance des points, uilibre aura encore lieu en regardant le corps comme èrement libre. Il faut donc appliquer à ce système de es les conditions d'équilibre connues d'un corps enement libre.

oient X, Y, Z les composantes de la quantité de montent jxV, et Xi, Yi, Zj celles de la résistance du point Xj, Y2, Zj celles de la résistance du point H 5 enfin

l5o COURS DE MÉCANIQUE.

djc dy dz y , , ■

m — > m— j.w— Jcs. composantes de Ja quantité de

mouvement effective pour le point m : soil OH = A. On aura d'abord les trois équations

et les équations des moments

542. On peut transformer ces équations. En remarquant d^ abord que z est constante, puisque chaque point décrit un cercle parallèle au plan des xyy on a

Do plus, en désignant par Q Tangle que /rzK fait avec une parallèle à Taxe des x menée par le point K, on a

. .r = r ces 0 , j^ = r sin 0 , .

d'où Ton déduit

dx dy

dt -^ ' dt '

d^ puisque — n'est autre chose que la vitesj^e angulaire w.

QUARiCTtTE ET UNIÈME LEÇOli. l5l

donc

2 ''i -^ = — 2 //?/« = — «Mj^, ,

2)m^= ^mxtù= «Mo?»,

désignant les coordonnées dû centre de gravité s entier. D'après cela, les éqnations d'équilibre

înt : ' ^