PRESSIONS SUR L AXE
551 . Ou pourra considérer le corps comme entiè ment libre, pourvu qu'on applique à deux points qaelco qucs O et H, pris sur l'axe, deux forces Rt (Xi, Yi,Zi] Rj (Xj, Y,, Zi), égales et contraires aux [H['essions exe— ^^^ cées sur ces deux points à chaque instant du mouvemeii^r"^^^ On aura donc, en posant OH = A, les six équations
-hZ, -hZ, =o,
552. On simplifie ces équations en y introduisant les dérivées de eo. D'abord z étant une constante, on a
dz 4'z
On a ensuite
dx djr
d^x dtù dy d^x dhà
dt" ^ dt di dt* -^ di '
d^Y rf» dx d}Y dhk
dt^ ih di di^ dt ''
Si l'on porte ces valeurs dans les six équations qui j^i^re-
îèdeni, on aura, en désignant par (oc,, ^,, z,) le centre le gravité du système et par M sa masse,
2X H- ^Mj, 4-w'Mar, -|-^X,4-X, = o, 2) Y — ^ Mx,-|- «'Mr, -h Y, 4- Y,= o,
y Z-t- Z,-hZ,= o,
^(Xz — Zx) 4- — \^/wjz -f- »' \^/Mxz-hX2^ = o,
V(Yx Xr)-^2'"'" = «-
^ë3. De ces six équations, la dernière ne contient pas » composantes des résistances Rt etRf C'est Téquation
mouvement déjà trouvée.
Quand on saura intégrer cette équation, les équams 4* et 5® du système (3) feront connaître X, et Yj, ixt les valeurs sont, comme on voit, en raison inverse
h. La raison en est que Xs A et Ys h sont les moments s couples qui résulteraient de la translation, au point O, s compGU|antes Xt et Yg de la force Rt. Or ces moments ÎTent être indépendants' de la position du point H, lisque chacun de ces couples doit détruire d'autres viples qur en sont eux-mêmes indépendants. Les com- ►santés Xj et Yj étant connues, on aura Xi et Y| par ^ deux premières équations du système, et la suivante ^nnera Zi -+- Zj sans déterminer en particulier aucune • ces composantes". En effet, comme on Ta vu ailleurs, ^ lieu d'appliquer les deux forces Zi et Z^ aux deux >^ûts G et H, il révient au même d'appliquer la force ^îque Zj H- Z, au point O.
l6o COURS DE MÊCA»IQVE.
CAS OU IL h'y a pas DB FORCES MOTRICES. (^^ 5
554. Dans le cas où il n'y a pas de forces motrices^ X, Y, Z sont nulles pour tous les points du corps, etVc-
quation (2) du n** 550 donne — =0, et w = constant^*» ce que Ton sait déjà. Le système (3) se réduit alors à
Y, = ^2wj3 — w'Mj,, Zi -4- Z2 = o.
Cette dernière équation montre que les résistances et Rs se réduisent à deux forces perpendiculaires k Fax puisque leurs composantes parallèles à cet axe donnei^B-t une somme nulle.
jàk II est aisé de voir que les résistances Ri et R9 foc
équilibre aux forces centrifuges de tous les points d corps qui agissent sur Taxe perpendiculairement à sa d: rection. La force tangentielle est nulle pour chaque poin D'après les formules (1), les résistances sont ppoportîo: nelles au carré de la vitesse constante co.
555. Le point H n'éprouve aucune pression si X| i^' Yt sont nulles, et pour cela il faut et il suffit qu'on a? ^ les deux conditions
(1) ^ mxz = o, ^ myz == o ,
c'«est-à-dire que Taxe Oz soit un des axes principaux relatifs au point O. Donc si un corps retenu par un seul point fixe commence à tourner autour cfun des axes
QUARANTE -DEUXIÈME LEÇON. l6l
ncipaux relatifs à ce points il continuera à tourner 'formément autour de cet axe comme s'il était fixe. L.e système (i) donne encore
X| = — fr>'M^,, Y| = — w'Mj, :
îtant la distance du centre de gravité à Taxe. On a de
qui fait voir que la force Rj ou la pression sur le int O est dirigée dans le plan z OG qui passe par Taxe 5 et par le centre d^ gravité G. C'est ce qu'on trouve- .t aussi en prenant ce plan pour le plan zOx k Tiniit que l'on considère.
S56. Il peut se faire que le point O ne supporte aune pression. Alors Taxe n^en éprouve aucune. Il faut et suffit pour cela que X^ et Yi soient nulles, et par conséeut que Xi et yi soient nulles. Ainsi le centre de gratédoit être sur Taxe de rotation, et alors le nil>uvement ant comniencé autour de cet axe, supposé fixe, contiera uniformément autour du même axe lorsqu^on le idra entièrement libre. L'axe de rotation est alors un î principal pour tous les points de sa direction.
ou LES FORCES MOTRICES SE RÉDUISENT A UN COUVLE.
^7. Les conséquences précédentes subsistent quand forces motrices se réduisent à un couple situé dans plan perpendiculaire à Taxe. On a dans ce cas
