MOUVEMENT DU TREUIL

S60. Considérons un treuil sollicité par les poids de ux masses m et m' agissant au moyen de cordes, la p. jgj ' première sur la roue OC, la se-

conde sur le cylindre OC'. Nous tiendrons compte de la masse du treuil ; mais nous négligerons le poids des cordes et le frottement des tourillons sur les coussinets. Soient x et x' les distances des centres de gravité des masses m et m^ aux points C et C.

^rès le principe de d'Alembert, nous devrons regar-

deux forces respectivement égales kmlg ~ j 9

l64 . COLRS DE XéCÂMQVE.

"*' l 5 zn' ) ' •^™™^ appliquées eu m et en m! sul-

Tant la verticale et tirant de haut en bas. Ce sont les forces perdues relatÎTes à ces deux points.

Considérons une molécule du treuil, de masse fx, à une distance r de Taxe. Si » est à Tépoque actuelle la vitesse angulaire du système* la force eflectiTe du point (x se

compose de sa force tangendelle «*^ -^ et de sa force centripète ar*tù qu'il faut prendre toutes deux en sens contraire. Mais la force centripète perpendiculaire à Taie' fixe est détruite par la résistance de cet axe. Le poids du treuil est aussi détruit, parce que son centre de gra?ité se trouTc sur Taxe fixe, à cause de la symétrie du treuil autour de son axe.

Donc, si nous faisons OC = c, OC' = c', et si nous exprimons que la somme des moments par rapport à Taxe des forces motrices du système et des forces effectives prises en sens contraires est nulle, nous aurons, d'après le sens suivant lequel les forces tendent à faire mouToir leurs points d'application «

' -('-ïV--('-'^)-S2'-=

361 . Les dérivées des deux variables x et x' pea?e être exprimées au moyen de la vitesse angulaire. En eff^ d'après le sens du mouvement* la vitesse du point m ê^le k celle du point C; mais la vitesse du point m' 4%ale et de sens contraire à celle du point C. On au donc

et« par suite*

li^ X , iiy,

lit" ' ae

QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. l65

signons par MA' le moment d^nerlic du treuil par )port à Taxe, M étant la masse du treuil. Inéquation mouvement (i) deviendra

I dfù\ , ,1 , d^\ ^« .. .,

m Ton tire

dtd lè{nic — m! c' )

Ht "" M/'-*- me' -if m' c'^^

m Ton déduit, en supposant la vitesse initiale nulle,

gt{mc — m'c')

La vitesse est donc proportionnelle au temps, et le moument est uniformément accéléré. L'accélération est à pesanteur comme me — m'c' est à MA* + me* -H m V. Si Ton avait mc=:m'c\ la vitesse angulaire serait ille et le corps resterait en repos. En efTet, c'est la contion pour que les poids m et m' se fassent équilibre. l y avait une vitesse initiale, le mouvement serait unime.

>62. Les tensions des cordons ne sont autre chose que forces perdues. Appelons-les T et T', nous aurons

f^emplaçons — par sa valeur tirée de Téquation (2),

as introduisons à la place des masses m, m' cl M tes ids correspondants que nous désignerons par />, p' et 1^.

l66 COIJKS DE MÉCAHIQDE.

Nous aoroDs

fi^^pC*-\-j/€^*

Si le système tourne dans le sens indiqué par la figure, on a pc ^pV, puisque » est plus grand que zéro. On a dans ce cas T •<[ p, T' >► p'. Ces tensions sont constantes pendant le mouTcment.

563. La pression totale u exercée sur Taxe du treuil résulte des forces qui se font équilibre autour de lai en y comprenant le poids du treuil. Les forces centrifuges des points du treuil se détruisent mutuellement et ne pressent pas Taxe à cause de la symétrie. On a donc

{pc^p'c^Y

CT = p-h />-+-/>' —

Pi^-f.^-H/^c'*

S64. On peut déterminer le mouTcment du treuil sans recourir' au principe de d*Alembert, mais en introduisant les tensions T et T'. Il suflEt d'éliminer T et T entre les équations (4) et la suivante :

^Mi= = Tc — rc\

donnée par la théorie du mouvement de rotation autc»ur d'un axe fixe. On retombe ainsi sur réijuation (2).

QUARÀllTE-TROISIÈM£ LEÇON. 167