F=:7-V ^TÂ

Idz X ■

(/»- z') j:tg\jïaZz) [z^ h) (^z + ^''^

qu'on peut écrire

d'ifz=,sl[P'-a%t'^b') '^

(P-^z')^[a-^ z)(«— 6V(a-h6> + /'+fl^

ou bien, à cause de 7; = - ( •■ h --i— ) ,

QUARAMTE-CINQUIBME LEÇON. l83

I qui donne, en remplaçant z par a cos*f + b sin*f ,

L (/—a) cos'ç -h (/— b) 8m*çJ

V(/^ -h 2 «A 4- «') cos*f + (/* -f- 2 fl* 4- **) sin* (p

sorte que t^ est la somme de deux intégrales elliptiques troisième espèce.

586. L'angle dièdre Y compris entre les deux poions extrêmes du point m est donné par . T intégra-

n de l'équation précédente entre les limites o et -•

dis que cet angle est plus grand que -• Remar-

on» que z variant de & à a, ou f de - à o, le polynôme

' 4- 2 ai 4- a*) cos* 9 4- (/* 4- a ai 4- i*) sin* f varie puis /* 4- 2ai4-i' jusqu'à /*4- 2ai4-a*. On a donc

. /(P—a^)(l^^b') I (/4- a) cos'<f H- (/4- *) sin» 7

^^y /24-2a6 4-fl' I £?

(/ — a) cos^(f 4- (/— ^) sin' y.

/(/^^fl»)(/'— ^') I (/4-fl)cos^ç4- (/

•^"^y /»4-2<i^4-ft' I ^«ï>

(/— û)cos*ç4-(^— •

J iwcos'ç4-«sin*(p ^/^ ^\V 'w » ^y

^ïic on aura

V /^ + 2a^4-û' LV('+a)(/4-ô)2 y^(/«)(/^) 2J

iS6 covns de mécàhiqde.

^^ ^ V^(/ + ^)(/+^)-hV^(/-^)(/-6)

et l'on aura de même

OU bien

^^^^^a^^— -J I II— »»^<t.— ^J

2/» H" 2ab -h 2 \^(^ — a*) {f — ^')

ei enfin

— fl'-f-av/(/>— a»)(/» — i»'i

P-\-:iab-^a^

On voit donc que Y est plus grand que -•

TEIÎSION DU FIL.

587. Il reste à déterminer .la tension N du fil ou '' résistance de la surface.

En multipliant les équations

TF + T^*''

QUARANTE-CUIQDIÈME LEÇON. 187

)ectivemeQt par x^y^ z, et ajoutant, on a

dO l'équation

-hN/ — gz = 0.

xdx -h ydy -f- zdz = 0 ne

xd'^x-^ yd'^y -j- zd^z dx^ -|- dj^ -i-dz^ ^

£/r^ dt*

N =r ii±:lî := f (3Z — 23. -h 2^.).

'ant que z est positive ou que le pendule se trouve dessous du plan horizontal mené par le centre O, la

îur de N, — --^> est positive, c'est-à-dire que cette

:e est dirigée de m vers O. Si le pendule s'élève ausus de ce plan, z deviendra négative et il pourra àrrique i^^ -i- g£ ou g' (3 z — 2^ 4- a ^o) devienne si négative. Dans ce cas le point fait l'effort N pour )procher du centre, et la force N tend à contracter ige.

►88. On peut vérifier la formule ( a) . Les forces N et g^ nexit pour résultante la force effective du point m,

peut se décomposer en une force tangentielle T = -y-»-

Une force centripète -• Donc ces deux dernières,.

es en sens contraire, doivent faire équilibre aux es N et g. Ainsi la somme des projections de toutes^ forces sur un axe quelconque doit être nulle. En les jetant sur Ow, la projection de T est nulle, puis- T est perpendiculaire à Omj la projection de f;,

l88 COURS DE HÉCAKIQUE.

est — y-*, celle de la force centrifuge est — - «Ç ou —r- On a donc

CAS OU LE PENDULE s'ÉCAUTE PEU DE LÀ TERTiaLE.