I^^ COURS DE MÉCANIQUE

et, en négligeant z — a^ z — 4, [a — 4)*,

De là résulte

Ces équations ont la même forme que les équations (i). On en conclut que la projection horizontale du pendhile décrit une ellipse et que la durée de la demi-révoIutioB

est ir i/-> valeur uipindre que w i/~.

XOUTBMBITT d'uNE TIGE PESANTE TOURNANT iUTOVI C'UN DE SES POINTS QUI EST FIXE.

591 .^ En désignant par x\ y\ z' les coordonnées d'un point quelconque m de la tige, considérée comme uoe ligne droite pesante, on a par le principe de d^Âlembert

ou

Prenons sur la tige un point L dont la distance au point fixe O soit / et soient x, /, z ses coordonnées. En dési* gnant par u la distance Om, on a

et Téquation (i) devient

d^ x ff^ Y d^ z

nnû

QUÀEAHTE-CllîQUIBHE LEÇOn. I9I

f«« ^ di^ -^ . £<Sr» a* 4- >t' '

posant

y wtf = Mfl, y^mu^ ==: M (a* -h ^'),

tant la distance du point O au centre de gravité de la i pesante, M la masse et MX:* le moment d'inertie de te tige par rapport à ce même centre de gravité. )nL a la condition

donne

a?(ljr -4- >"^j^ -f- «^» = o.

En multipliant cette équation par ^ et ajoutant Téquati (3), on trouve

dt^ *'

92. S'il n'y a qu'un seul point pesant /a sur la ligne te, à la distance /, on a ^ ma* = f* '*? ^ 'wm :^ fil et

ti^x d^y d^ z

-^-»-^' = o, ^ + Xr = o. + u ff = o.

es équations (6) se réduisent à celles-ci, si Ton supî 1= a-\ Ainsi la tige pesante se meut comme

le DcnUr aônir. Jatt hlaHDKvcst/=«H Le

Ce pont se ment

la pesanteur gti

4aat les fiiipnffmtr'î srait

le point

-K^onl/.Ccstktopor^. Oa a]!l = l/<. n «eCntpescniR

râendnedeh

ses. ToMsles

par le poôt O. Ccst la Oy égale et coMiaiie a la lésistaBoe de ce poiiL

XyT.Zyifcwi dTJesest égalealaso— edcscoi^

XMUBesi loaiesccs forces ctakot an point O, dfaprès le principe cmm (pf des foras en éqpnlibve snr nn cœps aofide se fcntew^ éqnfibfe si cDes sont transportées en nn mènBepoioL Ona

■; ai TOtB de la prcmîèrv «{ludoa (6),

X=-ix.

QUARANTE-CINQUIÈME LEÇON. igi

uito, par des transformations analogues,

„ Mû. „ Un l^a

• Y=z—\y, Zr=— Xz + Mg'-y-.

>94. La pression P sur le point O n'est pas dirigée vant la tige. Elle est la résultante de deux forces, l'une îgée suivant la tige et égale à Ma X, l'autre verticale et

AehM.g~ — » c'est-à-dire à la composante qu^on

tient en décomposant le poids M^ de la tige en deux ces verticales appliquées au point fixe O, et au centre oscillation L.

595. Si le centre de gravité de la tige coïncidait avec point fixe, on aurait a = o , Z = oo , et le mouvement la tige ne serait plus celui dhin pendule simple de igueur /. Mais dans ce cas le poids de la tige étant délit constamment par le point fixe, la tige doit rester nsle plan qui passe par sa position initiale et par la rection de la percussion, et tourner dans ce plan avec

vitesse constante 0)=:^— •

896. On arriverait encore aux équations du mouveîiit en expriiriaut que les forces^ perdues se fout équi- >re autour du point fixe, ou biea par la formule généle de la dynamique. Dans ce dernier cas, ou prendrait ur mouvements virtuels : i^ le mouvement effectif^ un mouvement de rotation autour de l'axe des z.

FllOPMén*É8 GÉNÉRALES DU MOUVEMENT. — MOUVEMENT DU CEimi

DE GRAVITÉ. i

Rmnarques sur les systèmes de points qui peuvent se mouvoir coidlne dei corps solidéS4 — Mouvement du centre de gravite^ — Vitesse initiait du centre de gravité d'un système mis en mouvement par des perçassions. — Conservation du mouvement du centre de gravité.

RJBlffARQUES SUR LES SYSTEMES DE POINTS QUI PEUVENT SE MOUVOIR GOMME DES CORPS SOLIDES.

597. CoDsidérons un système de points matériels /n^ m\ m'\ . . • , sollicités respectivement par des forces P? P', V'j . • . , dont les composantes parallèles aux axes sont X, Y, Z^ X', Y\V\. . . En vertu du principe de d'Alembert, si Ton applique au point m des forces parallèles

aux trois axes et égales respectivement à X — ''*"T7' "

Y — m -— , Z — m —-^9 €t aux autres points des forces

analogues, toutes ces forces doivent se faire équilibre au J moyen des liaisons du système. Les conditions de cet équilibre sont comprises dans Péquation générale des vitesses virtuelles ; mais on peut parvenir à des propriétés importantes^ sans qu'il soit nécessaire d'exprimer toutes ces conditions.

Ainsi l'équilibre existant entre les forces mentionnées, ^ dans le système dont nous étudions le mouvement^ il subsistera encore si Ton introduit entre les différents points de nouvelles liaisons telles que l'on voudra, pourvu qu'elles ne soient pas incompatibles avec les condition*' données •, on peut supposer, par exemple, que les distances

QUAHANTE-SIXlÈXfE LEÇON. ipS

Sférents points du système deviennent invariables, iaisons sont telles, que les points puissent se dépla* as que leurs distances changent. Il en résulté quie "ces doivent satisfaire aux six équations d*éqailibre ystème solide, pourvu toutefois qu'après la solidin il n'y ait aucun point fixe ni aucun point assu*demeurer soit sur une courbe, soit sur une surfade Un faisant cette restriction, les trois prenpères équa- Téquilibre donnent ^

în

». Pour que le système puisse se déplacer comme rps solide, c'est-à-dire sans que les distances de ses i varient, il faut et il suffit que chaque équation de don se réduise à une relation entre les distancet ^ fférents points. En effet, soît

quation qui doit toujours exister 'entre lescoérdohty y y z, x'. . . et dont le premier membre L est une ion f Ae t ex de x, y, z^ x',. . . . Désignons par r, . • . les 3 n — 6 distarrt^es des différents points qui nt rester constantes. On a

-r)'-HK-

-Vi^"-

Ou peut réduire à six le nombre des coordonnées qui n'aient plus entre elles aucune relation donnée* et prendre, par exemple, x, j^ -&, x' tj' et ocl' pour ces coordonnées arbitraires et indépendantes'. On aura toutes les autres en fonction de celles-là et des quantités p^q^.,.. Donc chaque équation de condition telle que L posera réduite à la forme

L =/(/?, 9, r, . . . , or, 7, z, x\ x\ .r") ~ o.

Pour un déplacement virtuel quelconque, p, ç, r,... restent constants, t ne variant pas, et par conséquent, puisque Téquation L = o doit être satisfaite, quelles que soient t, f, z, x' ^ y\ x!\ ces quantités ne doivent pa» entrer dans/. Donc, en éliminant de réquationL=o, 3 n — 6 coordonnées à l'aide des équations (2), kssix autres doivent disparaître en même temps, et TéquatioD L =, o doit se réduire à une simple relation entre les distances ^, y, r, . . . , ce qu'il fallait démontrer.

599. On ferait le même raisonnement en exprimant les 3 n coordonnées en fonction des distances p^ ^9^v") et de six autres quantités qui fixeraient la position arbi* traire du système par rapport aux axes fixes : par exemple, les coordonnées a, 6, y de l'origine d'un système d'axes O'x', O'j^', O'z', liés au corps solide, et les trois angles^, t{/, d, qui déterminent la position de ce nouveau système d'axes par rapport au système des axes Ox, OjS Oz, fixes dans l'espace. L'équation L =^ o prendrait la forme

Or a, 6, 7, (jp, ^fB n'y doivent pas entrer, puisque celte équation doit avoir lieu, quelles que soient les valeurs qu'on leur attribue. Donc L se réduit à une fonction de