PII3C1PE DES AUŒS
609. Les équations (a) peuvent èlre envisagées sous un autre point de me.
PendanI que le point \I(x, r* -) décrit sa trajectoire MA, la projectioD OP, de son rayon vecteur OM sur le plan x Or, décrit pendant le temps t une aire BOP ou A dont la différentielle est
^A = -;acrfjr — yiir).
La première des équations (2) donne
^ di 2 • d où, en intégr.int.
Il n T a pas de constante à ajouter. paiTe que À doit ê
éirfi
QUARAI9TE-SEPTIEME LEÇON. ao5
iille pour t = o. En désignant par V et X" les aires dé- 'ites par les projections du rayon vecteur sur les autres Uns coordonnée, on aura de même
Chacune des constantes c, c', c" représente le double e Taire décrite dans l'unité de temps, par la projection u rayon vecteur sur l'un des plans coordonnés. De là isulte ce théorème : '
Quand les forces motrices appliquées à un système î font équilibre en supposant le système solidifié ^ ou ien quand toutes ces forces ont une résultante unique assant par V origine des coordonnées y la somme des ires décrites par les projections du rayon vecteur sur hacun des plans coordonnés multipliées respectiv^ement ar les masses des points correspondants est proporonnelle au temps. C'est ce qu'on appelle le principe de » consen^ation des aires»
610. Cette loi a lieu en particulier quand les forces tutrices du système se réduisent à des actions mutuelles itre ses différents points ou à des forces constamment rigé^s vers un même point fixe, pourvu qu'on prenne Tui-ci pour l'origine des coordonnées. En effet, lors- L on suppose le système solidifié, toutes ces forces se truisent. Si l'on suppose le soleil fixe, toutes les forces >trices des planètes se réduisent à des forces dirigées ^s le centre du soleil et à des attractions ou à des répultis mutuelles qui se détruisent deux à deux. Le principe ^ aires doit donc être vérifié par rapport à tout plan 'Hé par le centre du soleil. ^
ï^e principe de la conservation des aires subsistera s'il ^^ient dans le système considéré des chocs ou des exi- ^sions qui proviennent toujours d'actions mutuelles ^ré les molécules.
DU PRIJfCIPE DES AIRES DANS LE MOUVEMENT RELATIF. j
611 . Jusqu'ici nous avons supposé Torigine des coordonnées fixe dans F espace. Prenons maintenant pour origine un point mobile avec le système. Soit Oi ce point. Désignons par Xi, j^i, Zi ses coordonnées par rapport à un système fixe Ox, Oy^ Oz. Soit m un point ayant pour coordonnées or, j^, z dans l'ancien système et J, >?, Çdans le nouveau composé de trois axes Oio:,, Oijy^i, OiZj parallèles aux anciens et mobiles avec le point Oi. On aura
Remplaçons x^ y^ z par ces valeurs dans les équations (i)
du n^ 606, sans toutefois faire cette substitution dans
T-TJ -TT » -TT* '-•a première devient </^' </f» dt^ ^
^ do ^^ ^ dt^ ^d y de d^i
Ici nous sommes obligés de supposer qu^il n^y a dans le système aucun point fixe. Alors on a, en vertu des trois premières équations du système solidifié (S97),
Uéquation (2) se simplifie et devient
Remplaçons maintenant yj-^ et -7^ par leurs valeurs ue-
ites des équations (i). Nous aurons
612. On aurait deux autres équations auaIogu«s. n voit que pour qu'elles deviennent semblables aux uations ( i ) du n° 606 , il faut et il suffit que '
rj^y^mj TtS "^^ ^^ '®* deux autres. quanti té$
lalogues soient nulles. C'est cer qui peut être fait de S'érentes manières.
On y parvient d'abord en prenant pour origine mole le centre de gravité du système, car alors ^ mg,
^wyj, 51 '''? ^^^^^ nulles. On a dans ce cas les trois [uations
<-.es termes disparaissent encore et l'on retombe sur les-
dations précédentes si Ton prend pour origine mobile
point qui ait dans l'espace un mouvement rectiligne
iiniforme', car alors — rr^> -—rr^ —rr sont nulles. ' di^ dt^ dt^
Enfin il existe une dernière manière, mais beaucoup
Mns utile, de parvenir au même résultat : c'est de dé-
*miner le mouvement du point Oj d'après les condi-
aoS
COVRS
lions
rf'x.
dt'
de* dt^
]^/wÇ ^WTï ^iwÇ
Ces équations signifient que la force accélératrice du point Oi, ou celle quil faudrait lui appliquer à chaque instant pour lui donner le mouyement qu'il a réellement, doit être constamment dirigée vers le centre de gravité du
système, puisque ^l"*?' ^^^^> 51 "*? *^^^ proportionnelles aux coordoniiées mobiles du centre de gravité . (Sn ^17 ^i) du système.
613. Si Forigine des coordonnées mobiles est choisie de l'une de ces trois manières, on aura, par rapport aux axes dont Forigine est mobile, des propriétés aemblables à celles qu'on a trouvées pour des axes fixes, puisque te équations (5) ont la même forme que les équations (i)du n** 606. D'abord si les forces se font équilibre, en supposant 4e système solidifié, ou si elles se réduisent à une seule passant par Forigine mobile, les seconds membres des équations (5) sont nuls et on en conclut encore que la somme des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur un des plans coordonnés, multipliée^ par les masses des points correspondants, croit toujours propo^ tionnellement au temps ou est constante dans des temps égaux. Ainsi le principe de la conservation des aires est vérifié relativement à ce plan mobile. Dans notre système planétaire, par exemple, on peut prendre pour origine des coordonnées son centre de gravité : car, en supposant que les étoiles n'agissent pas sur le système, le mouvement de ce point est rectiligne et uniforme (604). Du reste les forces motrices de ce système se réduisent à des actions mutuelles entre vses différents points, en sorte qu'il véri-
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aie principe des aires relaùvement à un plan quelconque issant par son centre de gravite.
