PLAH DU MAXIMUM DES
614>. Considérons toujours un système de points en mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en prenant pour origine un point O fixe ou mobile suivantles conditions établies précédemment, et proposons-uous de trouver un plan tel, [ue la sonune des produits des masses par les aires que lécrivent les projections de leurs rayons vecteurs sur ce lUn soit un maximum.
Le rayon vecteur Om du point m décrit une surface ODÎque dont l'élément mOn est dans le plan tangent, oii da cet élément et appelons et. S, y les angles que la erpendiculaire OD à son plan fait avec les ases coordon- ^Ox, Oj, Oz. Désignons par tù l'aire décrite par la rojection du rayon vecteur Om sur un plan quelconque P, îrpendiculaire à une droite qui fait avec les axes les igles A,B,C. En appelant 0 l'angle DOE, ou l'angle le le plan de l'aire da fait avec le plan de projection P,
lîsque dut est la projection de du sur le plan P. D'ailleurs les projections de da sur les plans xOy, ^s,rOz sont d\, tiy , dX", et l'on a
rfi' = rfffCOse, d\=d
En multipliant cette dernière par da et ayant égard aux équations précédentes, on aura
d<ù = É?X" cos X-hdV ces B + </ X ces C, d'où
6> = V cos A -I- X' cos B -H X cos C;
par conséquent
y m (ù = co$ A 5!'" ^" "^ ^°* ^ 5j 'w ^' "H" cos c y /» >.
Mais on sait que (609)
donc on a
(0 y m fe) = (c^^ cos A -\- c cos B -H g cos C ) •—
Dans cette équation, le coefficient de t est constant, le plan P étant donné.
Posons
On peut écrire
(?.) y m M = ( -y cos A 4- 7- cos B -f-~cosC) - e.
Il est permis de regarder -7-57-57 comme étant les cosi-
nus des angles formés par une certaine droite OF avec te axes coordonnés, droite dont la direction est indépendante de la position du plan P. Par conséquent, si nous concevons un plan t: perpendiculaire à OF, la posiuon de ce plan ne dépend pas non plus de celle du plan P. ^ (p étant l'angle EOF ou l'angle des plans P et tt, on a
cos cp = -7- cos A 4- -r cos B 4- tCOS C9 ^ k k k
r suite
) \ m« = — Xf cos(p.
Ainsi la somme des aires décrites sur le plan P, multiîées respectivement par les masses des points correspon-
ints, est égale au produit de - kt par le cosinus de Fangle
îs deux plans P et ti C!omme la quantité k ne dépend pas de la position du
an P, Téquation (3) montre que la quantité \^m« est
aximum lorsque (f est égal à 90**, c'est-à-dire lorsque plan de projection P coïncide avec le plan tt. On a alors
) ^ fw « = — A-f .
Tl existe donc un plan fixe tel, que la somme des aires entes pendant un temps quelconque par les projections s rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan^ mul- ^liées par leurs masses, est plus grande que pour tout 'tre plan de projection. Ce plan est toujours le même, Lel que soit le temps écoulé. On l'appelle pour ces deux isons plan du maximum des aires ou plan ins^ariable. >ti équation est
c^^x -h c'y -^cz-r^o
la somme ^^ m Cl) relative à un autre plan de projection
déduit de celle qui se rapporte au plan tt^ en la multiiant par le cosinus de Fangle des deux plans.
Ce plan est le même que celui du couple résultant des iiantités de mouvement du système solidifié, qui a été ^terminé précédemment (602). ^j^
Uia COURS DE MÉCANIQUE.
DES FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT d'UN SYSTÈME.
Principe des forces vives. — Autre démonstration. — Conséquences du principe des forces vives. — Des forces vives dans un système à liaisons complètes. — Des forces vives dans le mouvement relatif.
