PRINCIPE DES FORCES VITES
615. Considérons un système de points m, m\ m",.. ., sollicités par des forces P, P', P'^v^ dont nous désignerons les composantes parallèles à trois axes rectangulaires par X 9 Y, Z , X', Y', Z' , . . . . En combinant le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles on obtient Téquation
Les liaisons du système étant exprimées par un certain nombre d'équations
qui doivent être satisfaites, à une époque quelconque, par les coordonnées oes points du système et par ces coordonnées après un déplacement virtuel, il en résulte (489) que les variations des coordonnées sont assujetties à satisfaire aux équations suivantes, dans lesquelles le temps est
QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. ai3
pposë coiislaut :
dla^ dL ^ dL^ dh^ ,
c/M^ dm^ dU^ dU^ ,
— -^xH--— ^r-+--7-^2-+-3-?^^ -H . . . =o.
dx dy "^ dz d,r
D'un autre côté, dans le mouvement effectif du sysne, les coordonnées des. points devant satisfaire aux uations de condition (2), on a, en dilTérentiant celles-ci r rapport à f, variable indépendante,
dL ^ dL ^ dL , dL ^ dlu ^ , -di^-da:^-dy^-dz^-dx-^,..^o,
rfM ^ rfM , du ^ dm ^ d^li , , -.Ht^—dx^ — dy-^ — dz^-^dx^.,.^0,
On a déjà expliqué la distinction essentielle qui existe tre les variations dx, dy^ Jr, qui répondent à un déicement virtuel du point M, et les différentielles dx^ , dz^ qui se rapportent au déplacement réel que prend point, dans le mouvement général du système. Suppois que les équations de condition ne renferment pas temps explicitement. Alors les dérivées partielles
•y — , • • • 9 étant nulles, les équations (3) et (4) mon-
nt qu'on pourra faire
Bx r= r/j?, §Y = djr^ Sz = dzy $x' = dx' , . . , .
isi, parmi tous les déplacements virtuels, compatibles 'C les liaisons du système, il sera permis de choisir ui qui se rapporte au mouvement rccl Hé chaque point. >rs Véqualion (i) deviendra
ai4 COL'RS DE MÉCASIQUE.
OU
Mais à cause de on a
d'où résulte
(6) d 2 w*'' = 2 2 (Xrfx 4- Yc(r + Zrfz),
ou, en appelant ^^ la projection du chemin parcouni par le point M sur la direction de la force P,
(7) d^m9^=:i^J^dp.
Donc la di£férentielle de la somme des forces vives de tous les points du système est double de la somme des quantités de travail élémentaire des forces motrices.
616. Si Ton intègre Féquation (6), entre les limitas fo et e, on aura, en désignant par ^o I^ vitesse initiale du point M,
(8) ^mi^'^^mul=^ f 2(Xrfx4-Yd[r4-Z^5
Donc dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps j F accroissement de la somme des forces viifes de tous les points^ pendant un temps çuelcon(lufi) est égal au double de la somme des trav^aux de toittes les forces pendant le même temps.
QUARAUTE-HUITIÈMB LEÇOW. 2l5
Ainsi la différence des deux sommes de forces \ivcs à leux époques quelconques ne dépend que des coordonnées les points mobiles à ces deux époques et nullement de eors liaisons ni des chemins qu'ils ont suivis pour passer l'une position à une autre.
AUTRE nÉMOfiSTHATION.
