Supposons que la fonction

^(Xdx-hYdf-hZdz)

soit la différentielle exacte d'une fonction des variables Xy y, ^, a:', • . . , considérées comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = o, M = o,..* Soit

(0 2'^{X(ia:^Ydy'\-Zdz)z=d./{a:yX,z, x',. ..).

QUARÀMTE- HUITIÈME LEÇOIT. 317

)ti aura, en intégrant Téquation

»ar rapport au temps,

3) 2 wiP» = C 4-/(a;, /, Zy y, /, . . .).

Pour déterminer la constante C, désignons par t^^ la itesse d'un point quelconque M, et par Xo, jo> ^09 ^^s :>ordonnées à une époque quelconque fo- On aura

•} par suite,

onc lorsque le système passe if une position à une autre j accroissement de la somme des forces vi^es ne dépend <e des coordonnées des points dans ces deux posi" >ns» Pour évaluer cet accroissement, on n^a besoin de nnaitre ni les liaisons des points dans cet intervalle, ni 3 chemins qu ils ont suivis, ni le temps qu'ils ont mis à i parcourir.

620. L'équation (5) montre que si les points mobiles cupent la même position à deux épdques différentes t et > la somme des forces vives aura la même valeur à ces iXLX époques. On aura dans ce cas

>urvu que, les coordonnées des points reprenant les êmes valeurs, la fonction f(x,yy z, x', . . .) reprenne *ssi la même valeur. C'est ce qui pourrait ne pas avoir

2l8 COURS DE MÉCANIQUE.

lieu. Par exemple, si dans

2(Xi/x-+. Ydf + Zdz)

on a une partie telle que — ^^ — qui est la difiéren-

tielle d^uu arc 0, dont la tangente est ~) si le point m re-

vient à la position qu'il a déjà occupée en tournaul toujours dans le même sens autour d'un axe, quelle que soit la courbe décrite, l'angle 6 aura augmenté de 27r , de sorte que la fonction y dans laquelle entre 9 n'aura pas repris sa valeur primitive.

621 . L'expression V ( X <ia: -+- Y dfy -+- Z J-z ) est la différentielle exacte d'une fonction de x^y^ z^ od^. , . quand les forces motrices sont constamment dirigées vendes centres fixes, et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.