COL'RS DE MÉCANIQUE

Mais les deux points extrêmes étant fixes etdmmés, ix^ dy^ âz^, , . sont nulles aiix deux limites. Donc en abies

ce qu'il fallait démontrer. ^

Quand les points mobiles ne sont soumis à. aucune force, ou a

et par suite

^mv* = Cy

mv^dt^c(t — ^),

et comme Fintégrale 1 mv^dt = i mvds est un minimum, il en résulte que t — t^oyx le temps du trajet est

aussi un minimum

fcj •- .

CIHQDA.NTIÈME JLEÇOM.

o TATION d'un corps SOUDE AtJTOUR d'UN POINT HXB (*).

slatÎTes au déplacement d'un corps solide. — Axe instantané >n. — Détermination de la vitesse. — Somme des forces vives . ats des quantités de mouvemenL — Relations entre les cosinus les composantes de la vitesse. — Valeurs de p^ q, r en fonction

5 RELATIVES AU DÉPLACEMENT d'uW CORPS SOLIDE.

Considérons d'abord en lui-même et indëpen- Fig. 173. damment des forces qui le

produisent le mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe O.

Soient Ox, Oy, O^, trois

j^^rrT!^]]^ ^xcs fixes dans l'espace et

«, OoTi, O/i, 0^1, trois axes liés au corps et tournant avec lui autour du point O.

On a les formules

us a, 6, c, a', . . . sont les mêmes à chaque instant \ les points du corps, mais varient pendant le mt : ce sont des fonctions du temps. Les axes

lus grande partie de cette Leçon a été publiée par M. Stiirm uveîies Annales de Mathématufuest t. \ (i85i'), p. fftg.'

236 COUKS DE méCANIQUE.

étant rectangulaires^ on a les relations connues

ia'^a'^-ha'''=ii, ab -\- a' b' + a" b" z=i o, b^^b'^-\'b''^=zi, ûc-hûV-ha" 0*^ = 0, c»^-c'»H-c^*= I, bc -f- 6V-h b^c^^zzo,

qui en entraînent d'autres équivalentes,

(3) ii»-h^'-hc»=i, aû'-4- W^cc'=o,

643. Les composantes de la vitesse u du point m parallèles aux axes fixes, ou les projections de cette vitesse sur les axes, sont

dœ da db de

,/, I dr da' db' de'

rfz da" db" rfc"

dt ' r/r -^^ rfr • dt

Comme les axes Qxes sont arbitraires, il nous est perosis de supposer que leur position soit celle qu'occupe le système mobile des axes O Xi , Oj^i , O z i , au bout du temps tj position dont ce dernier système s'écartera après le temps

. , dx dy dz ^ , ,

tp Alors -^î —j — deviennent les composantes t<i,('i,^n

de la vitesse v parallèles aux axes Oxi, O/i, O^i, auboQt

du temps f , pourvu qu'on prenne les valeurs de —^ -j»"'»

dans cette hypothèse. Or len relations (a) donnent, qut^l^ que soient les axes fixes,

ada -h a^da' -4- a"da" = o, bdb^b'db'-\'b"db''=o, cdc -^c^dc^ -^ c^dc'* = o, adb -h a'ilb'^ a'^db"-^ bda + b'da' -h b"da"z^ o, adc -H a' de' -^ a" de" -f- cda + c'da*^ c"da"^ 0, bde -+- b'dç'-^ b"dc"-^- cdb -f- e'dV H- e"db"^o^

Si Ton suppose que ces axes fixes coïncident avecOJ^if

CIHQUAfiTIÈMB LBÇOH. 287

I, au bout du temps t^ on a alors

a'=zOy ^'==1, c'=o,

lations qui précèdent deviennent

da =0, db-\- da* = o, dh'^=. o, rfc -4- rfa'^rr o, rfc"= o, rfc'4- rf*''« o.

t les mêmes résultats en différentiant les équa-

" dt"^' dt'^ in"^^' dt^ dt'^'^' )ns

autités ;;, q^ r déterminent le déplacement après It des axes Oxi , Oyi , O Zi , liés au corps, car leurs 3 nouvelles après le temps dt que nous désigne- 3a/, 0>/', O^', font avec celles quHls ont au bout t et qu^on vient de prendre pour axes fixes, les i ont pour cosinus a-hda^ b 4- db^ etc. , en faisant

=:i, da ^=s Oy b = Oy db =: — rdt,.,^ re qu'on a

I cos j?iOj?'= a -h da= i, cos X, Oy= db = — nùif cos XtOz' =^dc =. qdt, cos ^1 0«' = d!a' = rdi, cos 7^,0/'= I, cos ^1 0 «' = rfc/ = — /w/r, cos ZiOx' zz da'^= — qdt, cos z.Oy = db":=pdt9 cos z,Oa'=: I.

238 COUmS DE MiCAHIQUB.

644. Si l'on reprend des axes fixes qudconqiies Ox, Ojr^ Oje, les lignes Oxi et Ojr' feront avec eux desaB{^ ayant pour cosinus a,cfjc/' etb-^ db^ V -h dU^ V^iV\ on aura

co8x.0/ = — Hif = fl(6-h</^)-+-fl'(^-hrfA0-*-«'(*'+^

(7) • ^rdt=adh-\'a'dh' ^-a'dh'^

et aussi

rdt = cos^, O jr' = (û -i- dt^ 4- b\a'-^ da') 4- ^''(11''+^^),

( 8 ) rdt=bda'¥ b'da' -f- ^''d^'.

On aura de même les expressions de pdt et de qdt pour des axes fixes quelconques.

AXE iNSTAÎfTAfiÉ.

645. Les points du corps dont la vitesse est nuUe à Tépoque f, se trouvent sur une droite donnée par les équations

q^i — rr» = o> ''•^t — /^2i= o, jPJ,— ya:,= 0,

Cette droite passe par le point fixe et fait avec les aies des angles dont les cosinus sont

V^/^*H- q'+ r* y/p'-hq'-hr^ ^p'-hq^-hr^

Le corps tourne donc autour de cette droite pendant le temps infiniment petit di. Mais la positioh de cet axe

iHs intérieur du corps change d*UD instant à un autre, est {lonjrquoi on l'appelle Vaxe instantané de rotation, es lieux des axes instantanés dans le corps et- dans Tesice soQt deux surfaces coniques ayant pour sommet le >int fixe O. Elles se touchent à Tépoque t suivant la "oite qui est.l'axe instantané actuel, et après le temps dt livant une autre droite infiniment voisine, qui a décrit [1 angle infiniment petit du second ordrcy pour devenir nouvel axe instantané \ de sorte que le mouvement du. ►rps n'est autie que celui du premier cône attaché au ftrps, roulant sans glisser sur la surface de Tautre cône Kc dans Tespace.

t)46. Soit 01 Taxe instantané, au bout du temps t : il it avec les axes de oTi , j^i , Zx des angles dont les cosi-* lis sont

CD» 10 .r, = ■

CÔS lOjTx =