La somme des forces vives de tous les points du îest
V mp* = kp^ 4- B ^» -f- C /^,
, C désignant les moments dMnertie du corps par >rt aux axes Ojc, Oy^ Oz, D'un autre côté (649)
% mv^ = w' \ m p'.
> mp^ est le moment d'inertie du corps par rapport :e instantané; on a donc, en désignant par a A le
itre correspondant de Tellipsoïde central,
à-dire que la somme des forces vives est égale au de la vitesse angulaire divisé par le carré du demikre de l'ellipsoïde central qui coïncide avec Taxe itané.
MOMENTS DES QUANTITÉS DE MOUVBMENt.
3. Prenons les moments par rapport aux axes Ox^ , Ozi de la quantité de mouvement niif du point m, le si c'était une force (qu'on remplacerait, dans la ie des couples, par une force égale et parallèle applià l'origine et un couple),
a44 COURS DE HÉCAHIQUB.
Le moment de ii»^ par rapport à Oxi est
ou
La somme des moments de tous les points du corps rapport à Taxe Oxi est donc
Cette somme se réduit à Â/7, en supposant que les Oxi, 0/1,0^1 soient les axes d'inertie principal: corps pour le point O. Ainsi en nommant A, B, trois moments d'inertie principaux du corps po point O, hpy 69, Cr sont les sommes des moment quantités de mouvement des points du corps par ra aux axes principaux.
Dans la théorie des couples, ces moments sont de trois couples agissant dans les trois plans cooFd^ XiOfx 9 . • • • Ds donnent un couple résulunt dont le me
G = ^A* p^ -h- B* ^* -h- Cr* : la perpendiculaire à soi
fait avec les axes Ox^ , O^i , O z^ des angles qui ont
A/s? B^/Cr,. -.. ^ .
cosinus "T^î -— i-j — — M. Poinsot a remarqué que o G G G
est le plan diamétral conjugué au diamètre de Telli] central
qui est dirigé suivant l'axe instantané.
En effet, soient x'^j^ z' les cordonnées par n aux axes Ox^ , Oy^ , 0-Zi du point N où l'axe insta rencontre l'ellipsoïde central : on a
et aussi, puisque le point N est sur l'ellipsoïde.
CINQUAnTIÈME LEÇON. 0^5
plan tangent en ce point N a pour équation
>lan dianiëtral conjugué à ON a pour équation . Aj^'^ -f-By^-j-Cz'z = o,
Apx 4- Bgx 4- Crs = o .
perpendiculaire à ce plan diamétral fait avec les ^ OoETi, 0^1, 0^1 des angles dont les cosinus sont
■ > "7^ » "TT' Donc ce plan est celui du couple résultant.
BS4. Si Ton prend des axes fixes quelconques, on aura somme des moments des quantités de mouvement par pport à Taxe Ox d'après les lois connues de la compor ion des moments ou des couples, en multipliant les >inents Ap, B^, Cr relatifs aux axes Oxi, Oy*i, Ozt E* les cosinus a, ^, c des angles que Ox fait avec ces 'S et ajoutant, c'est-a-dire que
2 m ^2 ^ — X ^^ = Apa' -h Bgb' + C^c', Atioks entre les cosinus a, &,... et les composantes
DE LA vitesse.
Î55. Il existe entre les cosinus a, &. . . , et p, </, r des étions utiles. En comparant les formules
dx da dh de .^.«v
• = (i ( ^2» — O'i ) ^- 6 (r^, — /?z, ) 4- r (/;j, — qx, )j (6W)
2^6 COURS DE MécAHIQUB;
et les autres formules analogues, on obtient
da , da' ,, . doT .^ -
- = br-cç, -=br-c'ç, — = 6r-/,.
, . , db db' , , db" . ,
de . de' , de' , i, .
-=aq-bp, —=a'q-b'p, —=a'g-ip-
On y arrive encore en multipliant par a, i, c, puis par a', b', c', . • • les équations (643, 644)
ada -h a'da' + a^da'' = o , bdit-h h'da' -h h" da" = rdt, cda -f- cVa' -f- cf'da" = — çrff ,
et de même pour dh^ db\ dh"^ etc.
