On déduit des équations

pda -»- qdh -H n/c = o , /?rfa' -H 9^/6' -h r^fc' = o , pda" -h ^^^" -h rdc^-ziz o,

formules qui servent à vérifier l'invariabilité de TexprcS" sion ap -k-bq -^ cr quand/;, ^, r sont des constantes.

Les différentielles da^ dbj de sont les projections sur les axes Oxi, O/i , O^j , du déplacement du point pris sur Taxe Ox à l'unité de distance de lorigine. Ce déplacement a pour valeur ^ da* -^ db^ -^ dc^ , En remplaçanl day db^ de par leurs valeurs tirées des équations (a)) on aura

dtyj[br — cqY-i- (cp — ar^ -^ (aq — bp )\

dtsJya^-Jfb^ H- c') 1/^' -^ q^ -+- /•) — («/? + bq-^crft = dt V'w' — «'cos'IOj: =i r»idt sin lOx.

CIHQUANTIÈME LBÇOIT. ^^J

^a direction de ce déplacement est perpendiculaire au n lOx, car les formules (a) donnent

ada -h hdb -h cde = o , ^ da -f-- db -\ — </c = o ,

lations qui expriment que la direction du déplacement perpendiculaire aux droites Ox et OI.

ALEURS DE p, ^, T EN FONCTION DES ANGLES ({^, (f et 9.

>57. La position du corps par rapport aux axes fixes Fig. 174. dépend des angles

zOz, = 9;

OL étant la trace du plan oTiOyi sur le plan xOy, Supposons que L, x, y^ z, Xi^ etc., soient les inter^ sections des droites OL,

9 etc.^ avec une sphère d,e rayon égal k Tunité : on a,

s les triangles sphériques luxx^^ Lo^i,

cos xOxy = a = cos 6 sin np sin ^ -f- costp cos^ , ces X OjTx = 6 = cos 0 sin ■»[; cos ^ — cos ■»[; sin y.

ingeant (|* en ç|/ -h 90*^, on a

cos yOxx =.a'z=. cos 0 cos ^|/ sin <p — sin -^ cos y » cos yOxx = ft' = cos 0 cos -^ cos y -*- sin >(; sin ^.

e triangle sphérique LxZ|, en observant que Tangle Zi = 90° — 0, donne cosxO^i et cosj^Ozi ou

c = sin 6 sin \p , c'=sin0cos^.

a48 COVRS DB iCÉCAifTQtJE.

Enfin le triangle Lzxi dootie

/ û* = — sinôsîn^ , ) A" ^ iî,

(4) ^ b'^ = — sinOcos^,

c^ == cos 0.

Substituons les valeurs de a, &,. . . en fonction de ^, f, 0 et leurs difTérentielles dans les équations

/ />£fr = — bdc — JVc' — è"rfc'',

(5) I qdt z= adc -h a' de' -h a'' de\

i rde=: bda-irb'da'^h"da'\

Les Vftleiii^ de c, c\ c" ni? contenant pas f, celles de pdt fil qdt lie contiendront pas d(f. Et comme les valeurs de J, 4', J" se 4éduisent de celles de a, a', a'', en augmentant f d^un angle droit, la valeur de — pdt se déduira de même de celle de qdt. On aura, réductions faites,

i/7£&==sinf sinO^tp + cos^r/O, qdt = cos f sin ^d-h — sin f ^9, r^ = £^f -H cos 6 ^^p .

^ n'entre pas dans ces formules, parce que ^ ou LOj^ étant compté à partir d'un axe arbitraire Ox, les valeurs de p, q^ r ne doivent pas changer quand on augmente cet aiigle d'une quantité constante,

658. On peut arriver encore à ces formules par ** théorie de la composition des rotations (*) en vertu ^® laquelle la projection de la résultante de plusieurs ro^^' tions sur un axe est égale à la soqime des projections A^ rotations composantes, chaque rotation étant représen^* par une longueur prise sur son axe et proportionnelle

( * ) Cette composition, analogue à celle des forces, repose sur le th^* rème suivant : Si, par deux causes auelcotnfues, un corps tend à la fo^' prendre deux rotations représentétrs par les deux côtés d'un parallé^^ firanune, le corps prendra une rotation unique représentée par la diagoi de ce parallélogramme. Voir Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation corps, Journal de M. Liouville, t. WI (i85i), p. 9.

CUrQUANTIÈME LEÇON. Sl49

grandeur. Il en résulte que la rotation ^dt du corps >ur de Taxe instantané équivaut aux trois rotations ^ssives pdt^ qdt^ rdt autour des axes Oxi, Oy^^Ozi^ Ltissi aux trois roiations successives du corps autour lignes Oz^ OL et O^i, indiquées par les différentielles dB et d(f. En outre pdt étant la projection 6ur Faxe 1 de la rotation îùdt^ on a

= coflif ^ 0 + sin 0 sin f flfnp ;

uite

qdt = d^ cosLOj^i -h d^ cos zOyx -♦- rfç cos z^Oyx = — sin çrfO -#- sin 0 cos^ ^4^ 5 lu

rcft =r d^ cosLO^i + d^ cos zOz^ + «/^ costt Ozi

)59. Réciproquement on peut trouver "t"» -v- ^ ^

fonction dep,^, r. Les rotations J9, r/(p, c?f se font our des axesOL, O2, Ozf

)' abord la somme des projections de ces rotations sur est d9 : on a donc

dB=pde cosLO^Ti -♦- qdt cosLOji -h rdt cosLOsi,

— = /7C0S(p4-9Sinf;

trouvera, ensuite

sm 9 -T^ = /? sin • -h ^ cos ç , dt

fànB -j- = r sin 9 — p sin ^ cos 6 — q cos y cos ô.

aSo GO€RS DE MÉCAiriQUE.

ROTATION D*UN CORPS SOLIDE AUTOUR d'uN POINT FIXE ( SUITE). - MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE LIRRE.

Équations du mouToment. -^ Cas où il n^y a pas de forces motrices. " Plan invariable. — MouTement de rellipsoîde central. — Lieu des axes instantanés dans le corps. — Lieu des axes des couples résultants. - Mouvement d*un corps solide entièrement libre.